1、3.4函数的应用(一)1|几类常见的函数模型名称解析式条件一次函数模型 y=kx+b k0 反比例函数模型y=k0 二次函数模型一般式:y=ax2+bx+c a0 kx2|利用函数模型解决实际问题的过程1.解决某一实际问题的函数模型是唯一的.()2.对于一个实际问题,收集到的数据越多,建立的函数模型的模拟效果越好.()3.在实际问题中,若变量间的对应关系不能用一个关系式给出,则需构建分段函数模型.()判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|如何解决已知函数模型的实际应用问题在实际问题中,大多涉及的两个变量之间的关系符合已知函数模型,如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数等,解决这种函数应用
2、问题的常见步骤如下:1.利用待定系数法求出函数解析式;2.根据函数解析式,结合题中需要研究的函数的性质解决实际问题.在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.在根据实际问题得到二次函数的解析式后,可以利用配方法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品的金额(万元)123456所获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品的金额(万元)123456所获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这
3、两种商品,请你帮忙制订一个资金投入方案,使该经营者获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).思路点拨利用已知数据画出散点图,根据散点图的形状选择函数模型,结合条件求出函数的解析式及定义域,最后由函数的解析式解决相关问题.解析 以投资金额为横坐标,所获纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.由散点图可以看出,A种商品所获纯利润y1(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用二次函数模型拟合.取最高点(4,2),设y1=a(x-4)2+2(a0),把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y1
4、=-0.15(x-4)2+2(0 x12).B种商品所获纯利润y2(万元)与投资金额x(万元)之间的变化规律可以用一次函数模型进行拟合.设y2=kx+b(k0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,得解得所以y2=0.25x(0 x12).设下个月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(万元),获得的纯利润分别为yA,yB(万元),总利润为W(万元),则xA+xB=12,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,所以W=-+(0 xA12).当xA=3.2时,W取得最大值,约为4.1,此时xB=8.8,即该经营者下个月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B
5、种商品,可获得最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.0.25,14,kbkb0.25,0,kb3202196Ax197481962|如何解决未知函数模型的实际应用问题1.解决未知函数模型的实际问题时,主要抓住四点:求什么,设什么,列什么,限制什么.(1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务,通常表现为求函数值.(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素,找出变化的根源,通常设变化的根源为自变量.(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式,用自变量与已知量表示函数值,直至求出函数解析式.(4)“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件,不仅要考虑自变量是否有意义,还要考虑用自
6、变量表示的所有其他量是否有意义,另外还要考虑变量的实际含义,如整数解等.2.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,可用x,y分别表示问题中的变量;(2)建立函数模型:将变量y表示成x的函数,注意函数的定义域;(3)求解函数模型;(4)给出实际问题的解.要在墙上开一个上部分为半圆,下部分为矩形的窗户(如图),在窗框为定长l的条件下,要使窗户的透光面积S最大,窗户应具有怎样的尺寸?思路点拨思路点拨选择适当的自变量与函数值选择适当的自变量与函数值,利用各量之间的关系求出函数的解析式与定义域利用各量之间的关系求出函数的解析式与定义域,从
7、而解决问题从而解决问题.解析 由题意得窗框总长l=x+x+2y,y=,S=x2+xy=x2+x=-+.由可得x.所以当x=时,S取得最大值,此时y=.22(2)4lx882(2)4lx48224lx22(4)l0,2(2)0,4xlxy20,2l24l4l所以当x=,y=时,窗户的透光面积最大.24l4l3|如何利用分段函数解决实际应用问题1.在一些实际问题中,函数值与自变量的对应关系随着自变量的取值不同而不同,如:分段计费、分段税率等问题,解决此类问题常需构造分段函数模型,利用分段函数解决问题.2.应用分段函数时的三个注意点:(1)分段函数的“段”一定要分得合理,即对自变量的分类要不重不漏;
8、(2)分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集;(3)分段函数的值域的求法:逐段求函数值的范围,最后再求各段范围的并集得到函数的值域.3.利用分段函数解决实际问题时,先在自变量的每段取值中解决相应的问题,再综合各段的结论,得到问题的解.经市场调查,某新开业的商场在过去一个月内(以30天计),顾客人数f(t)(千)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+(tN*),人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1t30,tN*)的函数解析式;(2)求该商场日收益(千元)的最小值.1t*100,17,N,130,73
9、0,N.tttttt 解析 (1)由题意得w(t)=f(t)g(t)=(2)当1t7,tN*时,w(t)单调递增,最小值在t=1处取到,w(1)=500;当7t30,tN*时,w(t)单调递减,最小值在t=30处取到,w(30)=519-120+=.由500,可得w(t)的最小值为.所以该商场日收益的最小值为千元.*11004,17,N,t1(130)4,730,Nttttttt *400100,17,N,1305194,730,N.ttttttt 130301 21031 21031 21031 2103题组一一次函数模型及其应用1.(2020陕西渭南高一上期中)网上购鞋常常看到下面这样一张
10、表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.中国鞋码实际标准(mm)220 225 230 235 240 245 250 255 260 265中国鞋码习惯称呼(号)34353637383940414243从上述表格可以推算出,“30号”的鞋对应的脚的长度为(B)A.150 mm B.200 mm C.180 mm D.210 mm8.(2019山西运城康杰中学高一上期中,)如图,已知底角为45的等腰梯形ABCD,底边BC长为 7 cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分(设直线l与梯形A
11、BCD的另一交点为E),令BF=x cm,试写出直线l左边阴影部分的面积y(cm2)与x(cm)的函数解析式.解析如图,过点A,D分别作AGBC,DHBC,垂足分别为G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45,AB=2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.当点F在BG上,即x(0,2时,y=SBFE=x2;当点F在GH(不含点G)上,即x(2,5时,y=S梯形ABFE=SRtABG+S矩形AGFE=2+(x-2)2=2x-2;当点F在HC(不含点H)上,即x(5,7)时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRtCEF=-(x-7)
12、2+10.所以所求的函数解析式为y=7.(2020山西忻州一中高一期中,)某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t每吨收费标准/元不超过2t的部分m超过2t不超过4t的部分3超过4t的部分n已知某用户1月份用水量为8 t,交纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,交纳的水费为21元.设用户每月交纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需交纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份交纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少水.7.解析(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=33.5-3=7.5.该用户3月份需交纳的水费为7.5元.(3)令6x-1524,解得x6.5.该用户最多可以用6.5 t水.
