1、板块一.向量的概念与线性运算典例分析题型一： 向量及与向量相关的基本概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量都相等。（）（3）向量共线，共线，则共线。（）（4）向量共线，则（）（5）向量，则。（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（）【例2】 给出命题零向量的长度为零，方向是任意的.若，都是单位向量，则.向量与向量相等.若非零向量与是共线向量，则，四点共线. 以上命题中，正确命题序号是（ ）A B C D【例3】 如图，在正方形中，下列描述中正确的是（ ）A BC D【例4】 下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共
2、线，则与也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【例5】 设为单位向量，若为平面内的某个向量，则；若与平行，则；若与平行且，则上述命题中，假命题个数是（ ）ABCD【例6】 下列命题中正确的有：( )四边形是平行四边形当且仅当；向量与是两平行向量；向量与是共线向量，则，四点必在同一直线上；单位向量不一定都相等；与共线，与共线，则与也共线；平行向量的方向一定相同；【例7】 判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若，则(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终
3、点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且；【例8】 在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【例9】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【例10】 平面向量，共线的充要条件是（ ）A，方向相同 B，两向量中至少有一个为零向量C，
4、 D存在不全为零的实数，【例11】 给出下列命题：若，则；若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；若，则；的充要条件是且；若，则；其中正确的序号是 题型二: 向量的加、减法【例12】 化简【例13】 化简下列各式： ； 【例14】 若，其中，是已知向量，求，.【例15】 设是所在平面内的一点，则（）A B C D【例16】 如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）A B C D【例17】 是的边上的中点，则向量（ ） A B C D.【例18】 根据图示填空： ； 【例19】 已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则( ) ABCD【例20】 设，分别是的三边、上的点，且
5、则与( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直 【例21】 如图，分别是的边，的中点，则（ ） A BC D 【例22】 如图所示，是四边形的对角线的中点，已知，求向量【例23】 如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，求，ABCDE【例24】 已知任意四边形中，分别是的中点，求证：【例25】 若则向量的关系是（ ） A平行 B重合C垂直 D不确定【例26】 若非零向量，满足，则（ ）AB C D【例27】 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )A B C DBCAP题型三: 向量数乘运算及其几何意义【例28】 已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，
6、、t（+）三向量的终点在一直线上，则实数t=_.【例29】 设，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则 【例30】 已知是不共线的向量，则四点中共线的三点是_【例31】 设是不共线的两个向量，已知，若三点共线，求的值【例32】 设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，求的值【例33】 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使，且m+n=1【例34】 已知向量，若向量和共线，则下列关系一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、或【例35】 D、E、F分别是ABC的BC、CA、AB上的中点，且， ，给出下列命题，其中正确
7、命题的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4【例36】 已知：，则下列关系一定成立的是（ ）A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线【例37】 如图，在中，、分别是、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）A BC D【例38】 如图，已知，用表示，则（ ）A B CD【例39】 已知，且，试求t关于k的函数。【例40】 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形【例41】 向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB，求证：ABCD是平行四边形。【例42】 已知
8、的两条对角线与交，是任意一点求证：+=【例43】 如图所示，是的个等分点，以，及这个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半径倍的向量有多少个？【例44】 已知五边形，、分别是边、的中点，、分别是和的中点，求证：平行且等于.【例45】 如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点和点求证(向量法) 【例46】 四边形中，分别为，的中点，为的中点，试用向量的方法证明：也是的中点 【例47】 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则( ) ABCD【例48】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若， 则 ， = 【例49】 若等边的边长为，平面内一点满足，则 ， （用，向量表示）【例50】 如图，在OAB中，AD与BC交于M点，设，（1）试用和表示向量（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，。求证：。11智康高中数学.板块一.向量的概念与线性运算.题库.学生版
