1、1函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数
2、的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数ytan x，xk(kZ)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑
3、函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)映射是特殊的函数()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()1函数y的定义域为()A，) B(，3)(3，)C，3)(3，) D(3，)答案C解析由题意知解得x且x3.2(教材改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案B解析A中函数的定义域不是2,2，C
4、中图象不表示函数，D中函数值域不是0,2，故选B.3(2016全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是()Ayx Bylg xCy2x Dy答案D解析函数y10lg x的定义域为x|x0，值域为y|y0，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y，故选D.4已知f()x25x，则f(x)_.答案(x0)解析令t(t0)，则f(t)5，f(x)(x0)5已知函数f(x)，若f(a)5，则实数a的值为_答案12解析f(a)，由题意知5，所以a12.题型一函数的概念例1有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f
5、(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.思维升华函数的值域可由定义域和
6、对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A1 B2C3 D4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()Ayx1和yByx0和y1Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x)答案(1)B(2)D解析(1)中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，
7、故选B.(2)A中两个函数的定义域不同；B中yx0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同故选D.题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)的定义域为()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是_答案(1)A(2)0,1)解析(1)由题意得解得3x0.所以函数f(x)的定义域为(3,0(2)由02x2，得0x1，又x10，即x1，所以0x1，即g(x)的定义域为0,1)引申探究本例(2)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2”改为“函数yf(x1)的定义域为0,2”，则函数g(x)的定义
8、域为_答案，1)(1，解析由函数yf(x1)的定义域为0,2，得函数yf(x)的定义域为1,3，令得x且x1，g(x)的定义域为，1)(1，命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_(2)若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是_答案(1)1,0(2)0,3)解析(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以0对xR恒成立，即20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.(2)因为函数y的定义域为R，所以ax22ax30无实数解，即函数yax22ax3的图象与x轴无交点当a0时，函数y3的图象与x轴无交点；当a0时，则(2a)243
9、a0，解得0a3.综上所述，a的取值范围是0,3)思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解(1)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B(1，)C(1,0) D(，1)(2)若函数y的定义域为R
10、，则实数m的取值范围是()A(0， B(0，)C0， D0，)答案(1)B(2)D解析(1)函数f(x)的定义域为(1,0)，12x10，解得1x.(2)要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立当m0时，得到不等式30，恒成立；当m0时，要使不等式恒成立，需即或即解得0m1)(2)2x7(3)解析(1)(换元法)令t1(t1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17，不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f()1中，用代替x
11、，得f()2f(x)1，将f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(1)已知f(1)x2，求f(x)的解析式；(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x
12、)4x1，求f(x)；(3)已知f(x)3f(x)2x1，求f(x)解(1)设1t(t1)，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(2)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k2xkbb，或故f(x)2x或f(x)2x1.(3)以x代替x得f(x)3f(x)2x1，f(x)3f(x)2x1，代入f(x)3f(x)2x1可得f(x)x.2分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_(2)(2015山东)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1, )思想方法指导(1)求分段函数
13、的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围解析(1)当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)，可得2(1a)a(1a)2a，解得a，不合题意当a1,1a1，由f(1a)f(1a)，可得(1a)2a2(1a)a，解得a，符合题意(2)由f(f(a)2f(a)，得f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.答案(1)(2)C1下列各组函数中，表示同一函数的是()Ay与yx
14、3By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dy2x1，xZ与y2x1，xZ答案C解析A项中两函数的定义域不同；B项，D项中两函数的对应关系不同，故选C.2(2015重庆)函数f(x)log2(x22x3)的定义域是()A3,1B(3,1)C(，31，)D(，3)(1，)答案D解析需满足x22x30，解得x1或x3，所以f(x)的定义域为(，3)(1，)3若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x23x Bg(x)3x22xCg(x)3x22x Dg(x)3x22x答案B解析(待定系数法)设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(
15、1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x，故选B.4(2015陕西)设f(x)则f(f(2)等于()A1 B.C. D.答案C解析f(2)220，则f(f(2)f11，故选C.5(2016安徽六校联考)已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为()A2 B2C2或2 D.答案B解析当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，无解，所以x02，故选B.*6.(2016唐山期末)已知f(x)的值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B(1，)C1，) D(0，)答案C解析要使函数f(x)的值域为R，需使1a.即a的取值范
16、围是1，)7(2016济南模拟)已知函数f()x，则f(2)_.答案解析令t，则x，f(t)，即f(x)，f(2).8设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_答案(，8解析当x1时，由ex12得x1ln 2，x1；当x1时，由x2得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值范围是x8.9(2015浙江)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时，取等号，此时f(x)min230；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为23.*10.设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有_xx；x10，求实数a的值解(1)由题意，得f()f(1)f()f(1)f()212.(2)当0a2时，由f(a)2a14，得a，当a2时，由f(a)a214，得a或a(舍去)，综上所述，a或a.
