1、20202021学年高二数学下学期 第六章 计数原理专项训练一、单选题（共12题；共60分）1已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）A49B48C47D462将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）A33B56C64D783在的展开式中，x2项的系数为（ ）A30B45C60D904空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面的距离相等且为第四个点到平面的倍，这样的平面的个数为（ ）A8B16C32D485算筹
2、是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为ABCD6如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为ABCD7某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通
3、过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有A22种B24种C25种D27种8若的展开式中的系数为，则（ ）ABCD9已知，当时，则当时，的值为（ ）ABCD102020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有女、男名教师报名成为志愿者，现在有个不同的社区需要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名教师，其中至少要有名女教师，则不同的选派方案有多少种（ ）A种B种C种D种11在的展开式中，只有第项的二项式系
4、数最大，则（ ）A4B5C6D712由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（ ）A144B216C288D432二、填空题（共4题；共20分）13学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有_种不同的排法.14在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有3种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案152018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个
5、年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有_种16某学校要安排位数学老师、位英语老师和位化学老师分别担任高三年级中个不同班级的班主任，每个班级安排个班主任由于某种原因，数学老师不担任班的班主任，英语老师不担任班的班主任，化学老师不担班和班的班主任， 则共有_种不同的安排方法（用数字作答）三、解答题（共4题；共20分）17设，其中.（1）证明：，其中；（2）当时，化简：；（3）当时，记，试比较与的大小.18的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.（1）求的
6、值；（2）若，展开式有多少有理项？写出所有有理项.19已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求证：.20某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)（1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？参考答案1A【详解】集合知： 1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，而
7、有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；一共有个，故选：A2B【详解】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图：分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则，其次证明：，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜
8、色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，否则，类似的定义，所以，由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而，所以所以，由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，类似地，在列中至少有条分隔边，则 ，下面分两种情况讨论：1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个，故至少有行含有色的方格，于是，由得；2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，从而由可得；综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B3B【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1.对于，通项公式为Tk+1xr2
9、021k，kr，r、kN，r10.令r2021k2，可得r2+2021k，故k0，r2，故x2项的系数为45，故选：B.4C【详解】第一种情况，A，B，C，D点在平面的同侧.当平面平面BCD时，A与平面的距离是与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面的一侧，第4个点在平面的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平面与平面BCD平行，且A与平面的距离是平面与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面）的距离是D到平面EFK距离的一半.
10、EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，这种情形下的平面有34=12（个）.第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面两侧各种有两点.容易看出：点A到平面EFMN（平面）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍就A，C与B，D分别位于平面两侧的情形来看，就有A离平面远，B离平面远，C离平面远，D离平面远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，平面有43=12（个）.综上分析，平面有4+4+12+12=32（个）.故选C.5B【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘
11、法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：.故选B.6D【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域
12、，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选D7D【详解】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，列举出在点数中三个数字能够使得和为的，共有种组合，利用分类计数原理能得到结果.详解：由题意知正方形（边长为个单位）的周长是，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，共有种组合，前种组合，每种情况可以
13、排列出种结果，共有种结果；各有种结果，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果，故选D.8B【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，由可得，由题意可得，解得.故选：B.9B【详解】，令，则；令，则，因为，所以，当时，则，故选：B.10C【详解】只有一名女教师：;选派两名女教师：；所以共有72+24=96种方法.故选：C11C【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大， 即，解得：故选：C12C【详解】先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别记为，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在号位置，
14、也不在号位置（1）若奇数排在号位置，则排法总数为；（2）若奇数排在号位置，则排法总数为；（3）若奇数排在号位置，则排法总数为；（4）若奇数排在号位置，则排法总数为；（5）若奇数排在号位置，则排法总数为；（6）若奇数排在号位置，则排法总数为；根据分类加法计数原理可知，排法总数为故选：C13150【详解】解：根据题意，分2步进行分析：先将5名学生分成3组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则有种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个公司，有种情况，则有种不同的安排方式.故答案为：150.1466【详解】根据题意，分3种情况讨论：当A、C、E种同一种植物，
15、此时共有3222=24种方法；当A、C、E种二种植物，此时共有C32A32211=36种方法；当A、C、E种三种植物，此时共有A33111=6种方法；则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；故答案为661524【解析】分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题得以解决.详解：根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为种，故有种；第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中
16、选择一个年级的两名同学在乙组，为种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为种，这时共有种；根据分类计数原理得，共有种不同的分组方式.1632【解析】若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，共有种安排方法，故答案为 .17（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1），其中.（2）当时，由（1）结论可得所以原式.（3）【解法一】当时，所以，所以，令，得，当时，；当时，即.下面先用数学归纳法证明：当时，（）当时，（）式成立；假设时，（）式成
17、立，即，则时，（）式右边所以，当，（）式也成立.综合知，当时，.所以，当时，；当时，.【解法二】当时，所以，所以，令，得，要比较与的大小，即可比较与的大小，设，则，由，得，所以在上递增，由，得，所以在上递减，所以当时，当时，即，即，即，综上所述，当时，；当时，.18（1）2或14；（2），.【详解】因为奇数项的二项式系数之和为128，所以，解得，所以二项式为第一项：，系数为1，第二项：，系数为，第三项：，系数为，由前三项系数成等差数列得： ，解得或.（2）若，由（1）得二项式为，通项为：，其中 所以，令即，此时；令即，不符题意；令即，不符题意；令即，此时；令即，不符题意；令即，不符题意；令即，
18、 此时综上，有3项有理项，分别是：，.19（1）（2）（3）见解析【解析】分析：（1）令，根据可求的值；（2）由，解得可求的值;（3）利用二项展开式及放缩法即可证明.：详解：（1）令，则=0，又 所以（2）由，解得，所以 （3）20(1) 48 (2) 240 (3) 36【详解】(1 )先排2名教授,有(种)不同的排法,再排4名实习学生,有(种)不同的排法,故由分步乘法计数原理可得，共有 (种)不同的排法(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有 (种)不同的排法又2名教授,有(种)不同的排法,所以共有 (种)不同的排法 (3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有种分组方法.再将三组分别分配到三所中学任教故共有 (种)不同的排法.
