1、第六章计数原理基础知识考点一：使用分类加法计数原理计数的两个条件(1)根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，在这个标准下进行分类.(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分别属于不同类的两种方法是不同的方法，满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.考点二：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别联系：是涉及做一件事的不同方法的种数问题.区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.考点三：两个计数原理的应用用两个计数原理解决计数
2、问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数考点四：排列数公式的两种形式(1)An(n1)(n2)(nm1)，其中m，nN*，并且mn.(2)A.考点五：组合数公式组合数公式乘积形式C，其中m，nN*，并且mn阶乘形式C规定：C1.知识点六：二项式系数的性质对称性在(ab)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC增减性与最大值增
3、减性：当k时，二项式系数是逐渐减小的最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)CCCC2n；(2)CCCCCC2n1题型探究例1已知函数（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：【答案】（1） (2)见解析.【解析】分析：（1）直接化简计算即得A的值. （2）先通过分析推理求出，再证明详解：（1）当时， 所以，所以. （2）因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.假设，则，而，矛盾.所以满足条件的是唯一的. 下面我们求及的值：因为 ，显然. 又因为，故，即. 所以令，则，又， 所以.例2
4、某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和； （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】(1)根据队里男生甲必须排第一个，然后女生整体排在男生的前面，排成一路纵队入场，可得，根据从男生和女生中各选一名代表到主席台服务，可得；(2)根据，猜想，再用数学归纳法证明，第二步的证明利用分析法证明.详解：（1），. （2）因为，所以，由此猜想：当时，都有，
5、即.下面用数学归纳法证明（）. 时，该不等式显然成立. 假设当时，不等式成立，即，. 则当时，要证当时不等式成立.只要证：，只要证：. 令，因为，所以在上单调递减，从而，而，所以成立.则当时，不等式也成立. 综合、得原不等式对任意的均成立.例3设f(n)(ab)n（nN*，n2），若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P（1）求证：f(7)具有性质P；（2）若存在n2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值【答案】（1）详见解析（2）1934【解析】（1）利用等差数列性质列等量关系：观察可得当n=7,k=1时满足（2）化简为一个方程：4k24n
6、k(n2n2)0，解这个不定方程的正整数解的关键是配方：(2kn)2n2，所以n2为完全平方数又n2016，所以n的最大值为44221934，此时k989或945试题解析：解：（1）f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7，21，35，因为2，即，成等差数列，所以f(7)具有性质P （2）设f(n)具有性质P，则存在kN*，1kn1，使成等差数列，所以整理得，4k24nk(n2n2)0， 即(2kn)2n2，所以n2为完全平方数又n2016，由于44220162452，所以n的最大值为44221934，此时k989或945 例4（1）已知.求：；（2）在的展开式中，求：展示式中的第
7、3项；展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）；（2）；或.【详解】解：（1）令，则，令，则. 展开式中，、都大于零，而、都小于零，令，则.所以. （2）的展开式中第项为，当时，所以展示式中的第3项为. 或3时，二项式系数最大，时，由（1）知，时，例5从包括、两人的个人中选出人排成一排（1）若任意选人，有多少种不同的排法？（2）若、两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？（3）若、两人都在内且、不相邻，有多少种不同排法？（4）若排头和排尾不允许站，正中间（第三位）不允许站，有多少种不同的排法？【答案】（1）种；（2）种；（3）种；（4）种.【详解】（1）从人中任选人来排队共有种不同的排法
8、；（2）先从、两人中任选人有种不同的方法，再从剩余的人中任选人有种不同的方法，再将选出的人进行全排列，共有种不同的排法；（3）因、都在内，所以只需从余下人中选人有种不同结果，、不相邻，使用插空法共有种不同排法；（4）第一类：所选人无、，有种不同排法；第二类：所选人有无，则只能站中间三个位置的其中一个位置，有种不同排法；第三类：所选人无有，则有个位置可供选择，有种不同排法；第四类：所选人有、，若排中间时，有种不同排法，若不排中间时，有种不同排法，共有种不同排法；综上，共有种不同排法例6（1）求(-x+)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项.（2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相.求3位
9、女同学站在一起的概率；求4位男同学互不相邻的概率.【答案】（1）各项系数之和为：，常数项为： ；（2）； .【详解】解：（1）令得各项系数之和为，展开式的通项公式，由得，则常数项为（2）把3位女生当作一个元素，则有种排法，则对应的概率4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有则对应概率课后小练1在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列（1）求展开式中的所有有理项；（2）求系数最大的项2如图,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点涂上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么有多少种不同的涂色方法?3已知展开式前三项的二项式系数和为22（1）
10、求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项4在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与
11、性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.012.7063.8416.6355已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为64.（1）求的值；（2）若展开式所有项的系数和为，其中为有理数，求和的值.6蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户通过步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网络挂号、网络购票等行为就会减少相应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树.这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙伴们可以在现实沙漠化地区（阿拉善、通辽、库布齐等）种下一棵实体的树目前通辽地区对部分基地樟子松幼苗的培育技术进行了改进，为了了解
12、改进后的效果，现从改进前后的树苗培育基地各抽取了株产品作为样本，检测其同样生长周期的高度（单位：），若高度不低于才适合移植，否则继续等待生长图1是改进前的样本的频率分布直方图，表2是改进后的样本频率分布表.图1表2技术改进后样本的频率分布表高度频数（1）根据图1和表2提供的信息，试从移植率的角度对培育技术改进前后的优劣进行比较；（2）估计培育技术未改进的基地树苗高度的平均数；（3）在市场中，规定高度在内的为三等苗，内的为二等苗，内的为一等苗.现从表2高度不低于的树苗样本中采用分层抽样的方法抽取株，再从这株幼苗中随机抽取株，求这株中一、二、三等苗都有的概率.参考答案1（1），（2）和【详解】（1
13、）由题设可知解得n=8或n=1（舍去）当n=8时，通项据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0r8 r=0，4，8，故x的有理项为， （2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+10，故有1且1， 由1得r3 又，由1得：r2 r=2或r=3所求项为和 2420【解析】先给点S涂色,有5种不同的方法,再给点A涂色,有4种不同的方法,接着给点B涂色,有3种不同的方法,当点C与点A同色时,给点D涂色有3种不同的方法；当点C与点A不同色时,给点C涂色有2种不同的方法,给点D涂色也有2种不同的方法,依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知不同的涂色方法共有543(3+22)=420(种).
14、3（1）；（2）；（3）.【详解】解：由题意，展开式前三项的二项式系数和为221二项式定理展开：前三项二项式系数为：，解得：或舍去即n的值为62由通项公式，令，可得：展开式中的常数项为；是偶数，展开式共有7项则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为4（1）；（2）详见解析；（3）没有.【详解】（1）设从高一年级男生中抽取人，则 解得，则从女生中抽取20人所以，.（2） 表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则的所有可能的取值为0,1,2.，.则随机变量的概率分布列为： 012 所以数学期望为.（3）列联表如下：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045，因为，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.5（1）（2），【详解】解：（1）由题意，（2）方法一：展开式的通项为则，方法二：令，则，因为故，.6（1）改进后的培育技术更好，详见解析；（2）；（3）.【详解】解析：（1）根据题图和题表可知，培育技术改进前树苗的移植率为，培育技术改进后树苗的移植率为，所以培育技术改进后树苗的移植率更高，因此改进后的培育技术更好.（2）.（3）由题意知，株幼苗中一、二、三等苗分别有、株,.
