1、第七章随机变量及其分布单元测试（全卷满分150分，考试用时120分钟）第一部分（选择题60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1(2021黑龙江哈尔滨第三中学高三下第一次模拟)已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是，则这种产品的一级品率为（）ABCD2(2021四川南充高三第三次模拟)随机变量X的分布列为X01mPn若E(X)1.1，则D(X)（）A0.49B0.69C1D23(2020江西南昌新建第一中学高二开学考试)已知随机变量XN(2，1)，其正态密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（）(附:若随机变量N(，
2、2)，则P()0.682 7，P(22)0.9545)A0.1359B0.7282C0.8641D0.932054(2021辽宁锦州高三一模)已知随机变量X服从正态分布N(，2)，若P(X1)P(X5)1，则（）A1B1C2D2 5(2021湖南长郡十五校高三下第二次联考)十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图)，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物2021年春节前，该课外兴趣小组中的2名成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一
3、次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（）ABCD6(2021福建南平高三二模)企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查，抽样结果如下：A品牌设备的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌设备的使用年限2345概率0.10.30.40.2更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析，下列说法正确的是（）A不更换设备 B更换为A品牌设备C更换为B品牌设备D更换为A或B品牌设备均可7(2021广东汕头高三三模)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将
4、它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）ABCD8(2021浙江绍兴高三下适应性考试)设a，b为正数，已知随机变量X的分布列如下表所示，则（）X012Paab AE(X)有最大值，D(X)有最大值BE(X)有最大值，D(X)无最大值CE(X)无最大值，D(X)有最大值DE(X)无最大值，D(X)无最大值二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9(2021吉林松原高三5月联考)已知p1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（）X012Ppp21
5、pp2AP(X2)的值最大BP(X0)P(X1)CE(X)随着概率p的增大而减小DE(X)随着概率p的增大而增大10(2021辽宁沈阳郊联体高二上期末)已知随机变量X服从正态分布N(3，4)，则以下说法正确的是（）(附：P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5；P(3X3)0.997 3)AX的均值为3BX的标准差为4CP(X3)DP(1X7)0.682 711(2021江苏苏州昆山、太仓、苏州园三高二下期中联考)一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号分别为7，8，9，10，下列结论中正确的是（）A若有放回地摸取4个球，则取出的
6、球中白球个数X服从二项分布B若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布C若一次性地摸取4个球，则取到2个白球的概率为D若一次性地摸取4个球，则取到的白球个数大于黑球个数的概率为12(2021河北唐山高三三模)下列说法正确的是（）A某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为B从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1，2，3)，则P(X2)D若随机变量N(2，2)，且31，则P(2)0.5，E()6第二部分（非选择题90分）三、
7、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知随机变量X的分布列如下:X12345P0.10.20.40.20.1若Y2X3，则P(Y5)的值为_14(2021山东德州高三二模)若随机变量XN(，2)，且P(X5)P(X1)0.2，则P(1X2)_15(2021天津南大奥宇培训学校高三下学期高考模拟)1个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望E()=16(2021重庆南开中学高三下学期3月第五次质量检测)李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道
8、题参与测试，答对3道题及以上就可以进入面试李华可以答对这10道题目中的6道题若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为_四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(本小题满分10分) (2021陕西高三下学期教学质量检测)某同学参加篮球投篮测试,罚球位上定位投篮投中的概率为，三步上篮投中的概率为，测试时罚球位上定位投篮投中得2分，三步上篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次（1）求“该同学罚球位上定位投篮投中且三步上篮投中1次”的概率；（2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望18(本小题满分12分)
9、假设有3箱同种型号的零件，里面分别装有50件、30件和40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）两次取出的零件均为一等品的概率 19(本小题满分12分) (2021湖南永州高三下三模)某工厂为A公司生产某种零件现准备交付一批(1 000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位：mm)，统计结果如下表：零件的尺寸(2，2.03(2.03，2.06(2.06，2.092.09以上零件的个数436564（1）将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06 mm的零件个
10、数为随机变量X，求X的数学期望；（2）假设该厂生产的该零件的尺寸YN(2.069，0.012)根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Ym的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品请估计m的值(结果保留三位小数)附：若YN(，2)，令Z，则ZN(0，1)，且P(Z1.28)0.920(本小题满分12分) (2021北京门头沟高三二模)京西某地到北京西站有莲石和阜石两条路，且到达西站所用时间互不影响下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：时长(分钟)10，20(20，30(30，40(40，50(50，60莲石路(L1)的频率0.10.20.30.20
11、.2阜石路(L2)的频率00.10.40.40.1已知甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)（1）甲、乙两人应如何选择各自的路径？（2）按照（1）的方案，用X表示甲、乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望21(本小题满分12分) (2021河南九师联盟高三下联考)张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率都为，假设回答各个问题正确与否互不干扰（1）求张先生通过面试的概率；（2）记本次面试张先生回答问题的个数为X，求X的分布列及数学期
12、望22(本小题满分12分) (2021湖南高三下联考)2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议对此，中国外交部发言人表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示（1）求这100名受访群众年龄的平均数和方差s2(同一组数据用该组区间的中点值代替)；（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄X服从正态分布N(，2)，其中近似为，2近似为s2求P(33.2X46.6)；从年龄在45，55)，65，75)的受访群众中，按分层抽样的方法
13、，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在45，55)内的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望参考数据：取13.4，若XN(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5参考答案一、单项选择题1A；2A；3A；4D；5C；6C；7C；8C二、多项选择题9BD；10AC；11ABD；12AC三、填空题130.2；140.3；155，；16四、解答题17（1）设“该同学罚球位上定位投篮投中”为事件A，“三步上篮投中”为事件B，“该同学罚球位上定位投篮投中且三步上篮投中1次”为事件C，则P(A)，P(B)，所以P(C)（2）X的可能取
14、值为0，1，2，3，4，所以P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)所以X的分布列为X01234P故E(X)012343.1，则该同学总得分的数学期望是3.1分18（1）记事件Ai“任取的一箱为第i箱零件(i1，2，3)”，记事件Bj“第j次取出的零件是一等品(j1，2)”，由题意知P(A1)P(A2)P(A3)，P(B1|A1)0.4，P(B1|A2)0.4，P(B1|A3)0.6，由全概率公式得P(B1)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B1|A2)P(A3)P(B1|A3)(0.40.40.6)（2）P(B1B2|A1)，P(B1B2|A2)，P(B1B2|A3)
15、由全概率公式得P(B1B2)P(A1)P(B1B2|A1)P(A2)P(B1B2|A2)P(A3)P(B1B2|A3)0.2219（1）依题意可得，P(尺寸不大于2.06 mm)0.4，所以XB(1 000，0.4)，所以E(X)1 0000.4400（2）由题意得P(Ym)0.9，令Z，则Y0.01Z2.069，所以P(Ym)P(0.01Z2.069m)0.9，所以P0.9，又P(Z1.28)0.9，所以1.28，所以m2.082故m约为2.08220（1）记Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内(包括40分钟)赶到西站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内(包括50分钟)赶到西
16、站”，i1，2，则有P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，因为P(A1)P(A2)，所以甲应选择路径L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，因为P(B1)P(B2)，所以乙应选择路径L2（2）用A，B分别表示按照（1）的选择方案，甲、乙两人在各自的时间内到达西站，由（1）知P(A)0.6，P(B)0.9，且A，B相互独立，易知X的可能取值是0，1，2，P(X0)P ()0.40.10.04，P(X1)P ()0.40.90.60.10.42，P(X2)P(AB)0.60.90.54，所以X的分布列为X 012P 0.040
17、.420.54所以E(X)00.0410.4220.541.521（1）记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件Ai(i1，2，3，4，5)，则P(Ai)，张先生前三个问题均回答正确为事件B，前三个问题回答正确两个且第四个问题回答正确为事件C，前四个问题回答正确两个且第五个问题回答正确为事件D，张先生通过面试为事件M，则MBCD根据题意，得P(B)，P(C)，P(D)，因为事件B，C，D两两互斥，所以P(M)P(B)P(C)P(D)，即张先生通过面试的概率为（2）根据题意知X的可能取值为3，4，5，X3表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过)，所以P(X3)，X4表明前面三个问题
18、中有两个回答错误且第四个问题回答错误(淘汰)，或前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过)，所以P(X4)，X5表明前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确，所以P(X5)所以X的分布列为X345P故E(X)34522（1）300.05400.1500.15600.35700.2800.1560，s2(30)20.05(20)20.1(10)20.151020.22020.15180（2）由（1）知XN(60，180)，所以P(33.2X46.6)P(2X)0.135 9按分层抽样抽取的7人中，年龄在45，55)，65，75)内的分别有3人，4人所以Y的可能取值为0，1，2，3，则P(Y0)，P(Y1)，P(Y2)，P(Y3)，所以Y的分布列为Y0123P故Y的数学期望E(Y)0123
