1、21.4 二次函数的应用第3课时 二次函数应用中的其他问题1.掌握如何将实际问题转化为数学问题；(重点)2.进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(难点)3.进一步体会数形结合的数学思想方法.（难点）学习目标导入新课导入新课情境引入 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，在此运动中存在着许多与数学知识有关的实际问题.那么何时急刹车，才能避免追尾呢？引例：行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：建立二次函数模型解决实际问题一制动时车速制动时车速/km/
2、kmhh-1-10 010102020303040405050制动距离/m00.31.02.13.65.5 有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110km/m）行驶导致了交通事故？讲授新课讲授新课【分析】要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式时解答本题的关键.解：以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图.10
3、O369xy50403020 观察图中描出的这些点的整体分步，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设 y=ax+bx+c10O369xy50403020 任选三组数据，代入函数表达式，得0,100100.3,400201.0.cabcabc0.002,0.01,0.abc解得即所求二次函数表达式为 y=0.002x+0.01x（x0）.把y=46.5m代入上式，得答：制动时车速为150km/h(110km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶.解得 46.5=0.002x+0.01xx1=150（km/h）,x2=-155（km/h）(舍去）.
4、对于二次函数不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式.总结归纳 例1 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.何时橙子总产量最大?果园共
5、有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量你能根据表格中的数据作出猜测吗？y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000.在上述问题中,增种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？x/棵123456789 10 11 12 13 14y/个2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.何时橙子总产量最大1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?.60500105600001005560010022xxxxxy26040051060500604
6、005102 510y,xx由 得，得-2(x为正整数）解函数应用题的步骤:设未知数(确定自变量和函数);找等量关系,列出函数关系式;化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);求自变量取值范围；利用函数知识，求解（通常是最值问题）；写出结论.总结归纳营销问题二 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额=售价销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润销售量;（3）单件利润=售价-进价.例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每
7、星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10 xy=(20+x)(300-10 x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10 x),即：y=-10 x2+100 x+6000.6000自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10 x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 30.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10
8、x2+100 x+6000，当 时,y=-1052+1005+6000=6250.10052(10)x 即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60 x+6000.例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最
9、大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 20.涨价多少元时，利润最大，是多少？当 时,6052(18)3x 即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60 x+6000，25518()606000 6050.33y 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?例3 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售
10、量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售1018010+x180-10 xy=(10+x)(180-10 x)1800建立函数关系式：y=(10+x)(180-10 x),即：y=-10 x2+80 x+1800.营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10 x 0，因此自变量的取值范围是x 18.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+80 x+1800 =-
11、10(x-4)2+1960.当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.自变量x的取值范围如何确定？知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.y=(160+10 x)(120-6x)某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满经市场调查，如果一间客房日租金每增
12、加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？解：设每间客房的日租金提高10 x元，则每天客房出租数会减少6x间，则练一练=60(x2)2+19440.x0，且1206x0，0 x20.y=(160+10 x)(120-6x)当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.=60(x2)2+19440.x0，且1206x0，0 x20.这时每间客房的日租金为160+102=180(元).1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x
13、元（20 x 30)出售，可卖出（30020 x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.25当堂练习当堂练习2.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？w=12+2(x1)804(x1)=(10+2x)(844x)=8x2+128x+840=8(x8)2+1352.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最
14、大，最大利润为1352.xy516O73.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题中条件可求y=-x2+20 x-75-10,对称轴x=10,当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 x 13时，利润不低于16元.解：y=(x30)60+2(70 x)500 =2x2+260 x6500(30 x70)；解：y=2（x65）2+1950，顶点是（65，1950），单价定为65元时，日均获利最多是1950元课堂小结课堂小结实际问题数学模型 转化转化回归回归（二次函数的图象和性质）实际数据分析问题营销中的抛物 线 问 题（营销问题，运动学问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.
