1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性与奇偶性学习目标1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性导语同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质一、正弦
2、函数、余弦函数的周期问题1正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？提示能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律我们可以从两个方面来验证这种特点：函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出0,2上的函数图象，然后每次向左(右)平移2个单位长度得到整个定义域上的函数图象诱导公式一，sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，对任意的kZ都成立知识梳理1函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)
3、的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.4余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.注意点：(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期(3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期例1求下列三角函数的周期：(1)y7sin x，xR；(2)ysin 2x，xR；(3)ysin，x
4、R；(4)y|cos x|，xR.解(1)因为7sin(x2)7sin x，由周期函数的定义知，y7sin x的周期为2.(2)因为sin 2(x)sin(2x2)sin 2x，由周期函数的定义知，ysin 2x的周期为.(3)因为sinsinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.(4)y|cos x|的图象如图(实线部分)所示由图象可知，y|cos x|的周期为.反思感悟求三角函数周期的方法(1)定义法：利用周期函数的定义求解(2)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可跟踪训练1求下列三角
5、函数的最小正周期：(1)y|sin x|；(2)ycos 4x；(3)y3sin；(4)y2cos.解(1)由y|sin x|，f(x)|sin(x)|sin x|f(x)，得f(x)|sin x|的最小正周期为(或通过图象判断)(2)由ycos 4x，T.(3)由y3sin，T4.(4)由y2cos，T.二、正弦函数、余弦函数的奇偶性问题2继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？提示正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称知识梳理正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin；(2)f(x)|sin x|cos x；(3)f(x)x
6、2cos.解(1)f(x)sincosx，xR.因为xR，都有xR，又f(x)coscosxf(x)，所以函数f(x)sin是偶函数(2)函数f(x)|sin x|cos x的定义域为R，因为xR，都有xR，又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以函数f(x)|sin x|cos x是偶函数(3)f(x)x2cosx2sin x，xR，因为xR，都有xR，又f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x)，所以函数f(x)x2cos为奇函数反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f
7、(x)的关系(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则跟踪训练2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin xcos x；(2)f(x).解(1)函数的定义域为R，关于原点对称f(x)sin(x)cos(x)sin xcos xf(x)，f(x)sin xcos x为奇函数(2)由得cos x1，函数的定义域为x|x2k，kZ，定义域关于原点对称当cos x1时，f(x)0，f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用问题3知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？
8、提示通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，则f等于()A B. C D.答案D解析ffffffsin.延伸探究1在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f的值为_答案解析ffffffsin.2若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，ff(x)，f1，则f的值为_答案1解析ff(x)，f(x)ff(x)f(x)，T，ffff1.反思感悟三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y
9、Asin(x)或yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)的形式，再利用公式求解(2)判断函数yAsin(x)或yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为yAsin x(A0，0)或yAcos x(A0，0)其中的一个跟踪训练3函数f(x)sin(0)，则f(x)是_(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为，则_.答案偶函数2解析f(x)sincos x.f(x)cos(x)cos xf(x)，f(x)为偶函数，又T，2.1知识清单：(1)周期函数的概念，三角函数的周期(2)三角函数的奇偶性(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用2
10、方法归纳：定义法、公式法、数形结合3常见误区：函数yAsin(x)或yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)的周期为T.1函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案A解析由于xR，且f(x)sin xsin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数2下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos(4x)答案D解析ycos(4x)cos 4x.T.3设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数答案B解析f(x)sinsincos
11、 2x，xR，又T，且f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数4已知f(x)为奇函数，且周期为，若f1，则f_.答案1解析T，又f(x)为奇函数，ffff(1)1.1函数f(x)sin，xR的最小正周期为()A. BC2 D4答案D解析由题意得T4.2函数y4sin(2x)的图象关于()Ax轴对称 B原点对称Cy轴对称 D直线x对称答案B解析因为y4sin(2x)4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称3图象为如图的函数可能是()Ayxcos x Byxsin xCyx|cos x| Dyx2x答案A解析根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个
12、，而yxsin x是偶函数，yx2x非奇非偶，由此可排除B，D；当x0时，yx|cos x|0，由此可排除C；故选A.4已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f等于()A1 B. C1 D答案A解析函数f(x)sin(0)的最小正周期为，周期T，解得2，即f(x)sin，fsinsinsin1.5函数yf(x)xsin x的部分图象是()答案A解析f(x)xsin(x)xsin xf(x)，函数是偶函数，排除B，D；当x取趋近于0的正数时，f(x)0，故选A.6(多选)下列函数中周期为，且为偶函数的是()Ay|cos x| Bysin 2xCysin Dycosx答案AC解析A中，由y
13、|cos x|的图象知，y|cos x|是周期为的偶函数，所以A正确；B中，函数为奇函数，所以B不正确；C中，ysincos 2x，T，所以C正确；D中，函数ycosx，T4，所以D不正确7设函数f(x)x3cos x1，若f(a)11，则f(a)_.答案9解析令g(x)x3cos x，g(x)(x)3cos(x)x3cos xg(x)，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)1，f(a)g(a)111，g(a)10，f(a)g(a)1g(a)19.8奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)cos x，则f的值为_答案解析ff(x)，T，ffffcoscos.9已知f(x)是周期为的偶函数，
14、且x时，f(x)1sin x，求f，f.解T，且f(x)为偶函数，fff1sin1，ffff1sin.10判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2cos；(2)f(x)cos xx3sin x.解(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)2cos2cos2sinx，又f(x)2sin2sinxf(x)f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)cos(x)(x)3sin(x)cos xx3sin xf(x)，f(x)为偶函数11如果函数f(x)cos(0)的相邻两个零点之间的距离为，则的值为()A3 B6C12 D24答案B解析因为函数f(x)cos(0)的相邻两个
15、零点之间的距离为，所以T2，由，解得6.12已知kZ，则“函数f(x)sin(2x)为偶函数”是“2k，kZ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当f(x)sin(2x)为偶函数时，k，kZ；当2k，kZ时，f(x)sincos 2x为偶函数；综上，“函数f(x)sin(2x)为偶函数”是“2k，kZ”的必要不充分条件13设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)则f的值等于()A1 B. C0 D答案B解析fffsin.14已知函数f(x)对于任意xR满足条件f(x3)，且f(1)，则f(2 023)_.答案解析由题意得f(x6)f
16、(x)，f(x)的周期为6，f(2 023)f(63371)f(1).15已知函数f(x)sin x在上恰有4个零点，则正整数的值为()A2或3 B3或4C4或5 D5或6答案C解析因为函数f(x)sin x在上恰有4个零点，所以2，解得4，所以正整数的值为4或5.16已知函数f(x)cosx，求f(1)f(2)f(3)f(2 023)的值解因为f(1)cos，f(2)cos，f(3)cos 1，f(4)cos，f(5)cos，f(6)cos 21，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0，即每连续六项的和均为0.所以f(1)f(2)f(3)f(2 023)f(2 023)f(1)cos .
