1、第3课时两角和与差的正切公式学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用导语同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”一、两角和与差的正切公式问题1请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式提示cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ；sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin .问题2同角三角函
2、数中的商数关系是什么？提示tan .问题3你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？提示tan().用来代替tan()中的即可得到tan()知识梳理1两角和的正切公式tan()，其中，k(kZ)，简记作T()2两角差的正切公式tan() ，其中，k(kZ)，简记作T()注意点：(1)只有当，k(kZ)时，上述公式才能成立(2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”例1(1)tan 255等于()A2 B2C2 D2答案D解析tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.(2)化简等于()A. B. C3 D1答案B解析tan(4515)tan 30.
3、反思感悟利用公式T()化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T()是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1tan”“tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值跟踪训练1化简求值：(1)；(2)tan 23tan 37tan 23tan 37.解(1)原式tan(7476)tan 150.(2)tan 60，tan
4、23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37.二、给值求值(角)问题4根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？提示T()的变形：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan tan tan()tan()；tan tan 1.T()的变形：tan tan tan()(1tan tan )；tan tan tan tan tan()tan()；tan tan 1. 例2已知sin ，tan()，则tan()的值为()A B. C. D答案A解析因为sin ，所以cos ，即tan .因为ta
5、n()tan ，故tan .所以tan().延伸探究若本例条件不变，求tan()的值解因为，sin ，所以cos ，tan ，又tan ，所以tan()2.反思感悟(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小跟踪训练2如图，在平面直角坐标系Oxy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求：(1)tan()的值；(2)2的大小解(1)由条件得cos ，cos .，为锐角，sin ，sin .因此tan 7，tan .tan()
6、3.(2)tan 2tan()，tan(2)1.，为锐角，02，2.三、两角和与差的正切公式的综合应用例3设tan ，tan 是方程x23x20的根，则tan()的值为()A3 B1 C1 D3答案A解析由题意知tan tan 3，tan tan 2，所以tan()3.反思感悟当化简的式子中出现“tan tan ”与“tan tan ”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围跟踪训练3(多选)在ABC中，C120，tan Atan B，下列各式中正确的是()AAB
7、2C Btan(AB)Ctan Atan B Dcos Bsin A答案CD解析C120，AB60，2(AB)C，tan(AB)，选项A，B错误；tan Atan B(1tan Atan B)，tan Atan B，又tan Atan B，联立解得tan Atan B，cos Bsin A，故选项C，D正确1知识清单：(1)两角和与差的正切公式的推导(2)公式的正用、逆用、变形用2方法归纳：转化法3常见误区：公式中加减符号易记错1已知tan ，则tan等于()A B7 C. D7答案D解析tan7.2tan 2，tan 3，则tan()等于()A1 B5 C1 D5答案C解析tan()1.3已
8、知，都是锐角，tan ，tan ，则的值为()A. B. C. D.答案C解析tan()1，由，都是锐角可知.4计算：_.答案1解析原式tan 451.1与相等的是()Atan 66 Btan 24Ctan 42 Dtan 21答案B解析原式tan(4521)tan 24.2已知，sin ，则tan等于()A7 BC. D7答案B解析，sin ，cos ，tan .tan.3若，则(1tan )(1tan )等于()A. B2C1 D不确定答案B解析，tan()1，tan tan tan tan 1，(1tan )(1tan )1(tan tan )tan tan 1(tan tan 1)ta
9、n tan 2.4若tan 28tan 32m，则tan 28tan 32等于()A.m B.(1m)C.(m1) D.(m1)答案B解析283260，tan 60tan(2832)，tan 28tan 32(1m)5已知sin ，且为锐角，tan 3，且为钝角，则角的值为()A. B.C. D.答案B解析因为sin ，且为锐角，所以cos ，tan ，所以tan()1.又，故.6(多选)已知cos ，则tan等于()A B7 C. D7答案CD解析因为cos ，所以sin ，所以tan .当tan 时，tan；当tan 时，tan7.7已知2tan tan7，则tan _.答案2解析2tan
10、 tan7，2tan 7，即2tan 2tan2tan 177tan ，即2tan28tan 80，即2(tan 2)20，解得tan 2.8已知0，sin ，tan()，则tan _，_.答案3解析因为0，sin ，所以cos ，所以tan ，又因为tan()，所以tan tan()3，所以.9已知，满足，求(1tan )(1tan )的值解因为所以tan()tan1，又tan()1，得tan tan 1tan tan ，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 2.10已知tan2，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)tan2，2，2，解得tan .(2)tan ，tan ，原式tan().11已知，均为锐角，且tan ，则tan()等于()A. B. C1 D.答案C解析因为tan tan，又，均为锐角，所以，00，(0，)，.15已知sin，cos，且和分别为第二、三象限角，则tan的值是_答案解析因为sin，且为第二象限角，所以cos.又cos，且为第三象限角，所以sin.所以tan，tan，所以tantan.16已知tan()，tan ，(0，)，求2的值解tan ，tan()，tan tan()，tan(2)tan()1.tan 0，tan 0，2()(，0)又tan(2)1，2.
