1、习题课指数型函数、对数型函数的性质的综合学习目标1.会求指数型函数、对数型函数的单调性、值域等问题.2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法一、指数型函数的单调性问题例1(1)函数y的单调递减区间是()A(，) B(，0)C(0，) D(，0)和(0，)答案D解析设u，则y3u，因为u在(，0)和(0，)上是减函数，且y3u在(，0)和(0，)上是增函数，所以函数y的单调递减区间是(，0)和(0，)(2)判断函数f(x)的单调性，并求其值域解令ux22x，易知ux22x(x1)21在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，所以f(x)在(，1上单调递增，在1，)上单调递减因为ux22x(x
2、1)211，所以yu，u1，)，所以00.因为y4x2x13(2x)222x3t22t3(t1)244，所以函数y4x2x13的值域为4，)因为yt22t3在(，1上单调递减，此时由t1得x0.又指数函数t2x在(，0上单调递增，所以函数y4x2x13的单调递减区间为(，0同理，因为yt22t3在1，)上单调递增，此时由t1得x0.又指数函数t2x在0，)上单调递增，所以函数y4x2x13的单调递增区间为0，)反思感悟(1)求指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考察f(u)和(x)的单调性，利用同增异减原则，求出yf(x)的单调性(2)关于指数
3、型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成跟踪训练1函数y 的单调递减区间为()A(，0 B0，)C(， D，)答案B解析函数yu在R上为减函数，欲求函数y的单调递减区间，只需求函数ux22的单调递增区间，而函数ux22的单调递增区间为0，)，故所求单调递减区间为0，)二、对数型函数的单调性问题例2求函数y 的单调区间解由于方程x23x50的判别式(3)245110恒成立，即函数的定义域为R.令u(x)x23x5，当x时，u(x)单调递减，当x时，u(x)单调递增又y为减函数，y在上单调递增，在上单
4、调递减综上，函数y的单调递增区间为，单调递减区间为.延伸探究求函数y(log0.4x)22log0.4x2的单调区间解令tlog0.4x，则它在(0，)上单调递减yt22t2(t1)21在1，)上单调递增，在(，1)上单调递减由tlog0.4x1得0x0.4；由tlog0.4x0.4，故所求函数的单调递增区间为(0.4，)，单调递减区间为(0,0.4反思感悟函数单调性的判定方法与策略(1)定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；(2)图象法：如果函数f(x)是以图象形式给出或函数f(x)的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；(3)yf(g(x)型函数：先将函数yf(g(x)分解为
5、yf(t)和tg(x)，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定跟踪训练2求函数y 的单调区间解由题意知1x20，1x0，3x11.ylog2x在(0，)上单调递增，log2(3x1)log210，f(x)的值域为(0，)(2)f(x)log2log2(log2x2)(log2x1)2，又1x4，0log2x2，当log2x，即x 2时，f(x)取最小值；当log2x0，即x1时，f(x)取得最大值2，函数f(x)的值域是.1知识清单：(1)指数型函数的单调性(2)对数型函数的单调性(3)函数的综合应用2方法归纳：换元法3常见误区：求对数型函数的单调性易忽视定义域1
6、函数y1x的单调递增区间为()A(，) B(0，)C(1，) D(0,1)答案A解析函数y1x的定义域为R.设u1x，则yu.u1x为减函数，yu在(，)上为减函数，y1x在(，)上是增函数2函数y 的单调递增区间是()A(1,1 B(，1)C1,3) D(1，)答案A解析由题意，得要使函数y有意义，则满足x22x30，即x22x3(x3)(x1)0，解得3x0，u2ax在0,1上单调递减，ylogau在2a，2上单调递增，a1.又2ax0在x0,1时恒成立，umin2a12a0，即a1时，ylogat和t(a1)x1都是增函数，所以f(x)是增函数；当0a0且单调递增，所以y单调递减，所以f
7、(x)为R上的增函数，又3x(0，)，所以3x1(1，)，(0,2)，所以f(x)1(1,1)，即f(x)的值域为(1,1)6(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：3.54，2.12.已知函数f(x)，则关于函数g(x)f(x)的叙述中正确的是()Ag(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)在R上是增函数Dg(x)的值域是1,0,1答案BC解析g(1)f(1)0，g(1)f(1)1，g(1)g(1)，则g(x)不是偶函数，故
8、A错误；f(x)的定义域为R，f(x)f(x)1110，f(x)为奇函数，故B正确；f(x)，又y2x在R上单调递增，f(x)在R上是增函数，故C正确；2x0，12x1，则01，可得.即f(x)，g(x)f(x)1,0，故D错误7已知函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围是_答案a1解析因为函数f(x)e|xa|(a为常数)，若f(x)在区间(，1上单调递减，则t|xa|在区间(，1上单调递减，又函数t|xa|在区间(，a上单调递减，所以(，1(，a，故有a1.8设函数f(x)，若f(2m1)f(m2)0，则实数m的取值范围是_答案(1，)解析函数
9、的定义域为R，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，又f(x)在R上单调递减，由f(2m1)f(m2)0得f(2m1)2m，解得m1.9已知函数f(x)(a0，且a1)是定义在R上的奇函数(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域解(1)f(x)是R上的奇函数，f(0)0，解得a2，经检验a2符合题意(2)由(1)知，f(x)1在R上单调递增，2x11，02，20，110，解得1x5.二次函数yx24x5的图象开口向下，对称轴为x2.由对数型函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为(2,5)要使函数f(x)在区间(3m2，m2)内单调递增，只需解得m2b2a，则下列不等式正确的是()ln(a
10、b1)0；ln(ba1)0；eab10；eba10.A B C D答案A解析因为函数f(x)3x2x为增函数，3a3b2b2a，即3a2a3b2b，所以ab，ab0，则ab11，所以ln(ab1)0，故正确；由ba0，得ba11，所以ln(ba1)e01，所以eab10，故正确；ebae01，所以eba14.15定义运算：对mR，m00mm；对m，n，pR，(mn)pp(mn)mpnp.若f(x)ex1e1x，则有()A函数yf(x)的图象关于直线x1对称B函数f(x)在R上单调递增C函数yf(x)的最小值为2D答案A解析依题意，f(x)ex1e1x(ex1e1x)00(ex1e1x)ex10
11、e1x0e0ex1e1xex1e1x1，故f(1x)exex1，f(1x)exex1，即f(1x)f(1x)，函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故A正确；f(x)ex1e1x1ex11，令yu，uex1，当x1时，uex1(1，)，单调递增，此时yu单调递增，故yf(x)在(1，)上单调递增，故B错误；根据单调性知yf(x)在x1时取得最小值f(1)e0e013，故C错误；因为10恒成立，当a0时，2x10，x，不符合题意；当a0时，由 得a1.即实数a的取值范围为(1，)(2)因为f(x)的值域为R，所以y|yax22x1(0，)，(也可以说yax22x1取遍一切正数)当a0时，y2x1可以取遍一切正数，符合题意；当a0时，需即0a1.综上，实数a的取值范围为0,1
