1、习题课不等式恒成立、能成立问题学习目标会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题一、在R上的恒成立问题例1已知不等式kx22kx(k2)0恒成立，求实数k的取值范围解当k0时，原不等式化为20，显然符合题意当k0时，令ykx22kx(k2)，由y0恒成立，其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点解得1k0.综上，实数k的取值范围是k|10(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立注意点：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.跟踪训练1若关于x的不等式kx23
2、kxk20的解集为R，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析当k0时，20恒成立，符合题意；当k0时，需满足k0且9k24k(k2)5k28k0，得k0，综上，实数k的取值范围是k0.二、在给定范围内恒成立的问题例2当1x2时，不等式x2mx40恒成立，求实数m的取值范围解令yx2mx4，y0在1x2上恒成立，y0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得实数m的取值范围是m|m0时，ax2bxc0在xx|x上恒成立yax2bxc在x，x时的函数值同时小于0.(2)当a0在xx|x上恒成立yax2bxc在x，x时的函数值同时大于0.跟踪训练2命题“xx|1x2，x2a0”为真命题
3、的一个充分不必要条件是()Aa4 Ba5Ca4 Da5答案B解析因为命题“xx|1x2，x2a0”是真命题，所以当1x2时，ax2恒成立，所以a4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a5.三、解决简单的能成立问题例3当1x0有解，则实数m的取值范围为_答案m|m5解析记yx2mx4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2mx40(1x0或2m80，解得m5.反思感悟(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；(2)对一些简单的问题，可转化为mymin或m0，4xm2(x22x3)能成立，m2x28x6能成立，又2x28x62(x2)222，m2，实数m的取值范围为m|m2
4、1知识清单：(1)在R上的恒成立问题(2)给定范围内的恒成立问题(3)解决简单的能成立问题2方法归纳：等价转换法，数形结合法3常见误区：要注意端点值的取舍1若不等式x2mx10的解集为R，则实数m的取值范围是()Am2 Bm2Cm2或m2 D2m2答案D解析不等式x2mx10的解集为R，则m240，解得2m2，实数m的取值范围是2m2.2对于任意xR，都有意义，则m的取值范围是()Am2 B0m2C0m2 D0m4答案C解析令y，当m0时，函数y，符合题意；当m0时，mx22mx20恒成立，则即解得00恒成立，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca1 Da0在1x2上恒成立等价于xa0在1
5、x2上恒成立，故1a0，即a1.4定义运算adbc，则不等式0对任意xR恒成立，则实数a的取值范围是 _.答案4a0解析原不等式为ax(x1)10，即ax2ax10，当a0时，不等式为10，符合题意，当a0时，有4a0，综上所述，a的取值范围是4a0.1一元二次不等式ax2bxc0的解集为全体实数的条件是()A. B.C. D.答案D解析一元二次不等式ax2bxc0的解集为全体实数等价于二次函数yax2bxc的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要2若关于x的不等式x2mx10有解，则实数m的取值范围是()Am|m2或m2Bm|2m2Cm|m2Dm|2m2答案A解析因为关于x
6、的不等式x2mx10有解，所以m240，解得m2或m2.3已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是()Aa|4a4Ba|4a4Ca|a4或a4Da|a4答案A解析由题意得，a2160，解得4a4.4已知不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围为()Aa|1a4 Ba|1a4Ca|a4或a1 Da|4a1答案A解析由题意知，(x2)24a23a在R上有解，a23a4，即(a4)(a1)0，1a4.5(多选)不等式ax22x10的解集非空的一个必要不充分条件是()Aa1 Ba1Ca2 Da0答案BC解析因为ax22x10的解集非空，显然a0时恒成立，又由解得0a1，综上，a
7、x22x10的解集非空的充要条件为a1.6若两个正实数x，y满足1，且不等式xm23m有解，则实数m的取值范围是()Am|1m4 Bm|m3Cm|4m1 Dm|m4答案D解析因为正实数x，y满足1，所以x2224，当且仅当x2，y8时，x取得最小值4.由x4，解得m4或m1.7若不等式x2(m3)xm0无解，则实数m的取值范围是_答案1m9解析x2(m3)xm0无解，则(m3)24mm210m90，解得1m9.8若关于x的不等式(k1)x2(k1)x10恒成立，则实数k的取值范围是_答案k|3k1解析当k1时，10恒成立；当k1时，由题意得解得3k1，因此实数k的取值范围为k|3k19xx|2
8、x3，不等式mx2mx10恒成立，求m的取值范围解由不等式mx2mx10，得m(x2x)0，所以m(x2x)1可化为m，因为x2x26，所以，所以m0”，q：“2m2”，则p是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析xR，x2mx10，m240，2m2，p：2m2.由集合间的关系可知，p是q成立的充分不必要条件12若不等式(a3)x22(a2)x40对于一切xR恒成立，则a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2，2) D(，2)答案C解析当a30，即a3时，不等式化为2x40，解得x2，不满足题意；当a3时，需满足解得2a2.综上，实数a的取
9、值范围是(2，2)13对任意x满足1x2，不等式x22xa0成立的必要不充分条件是()Aa3 Ba4Ca0答案C解析因为x22xa0，所以ax22x，又因为1x2，x22x(x1)213，所以a3，又因为求“对任意x满足1x2，不等式x22xa0成立，则实数x的取值范围为_答案解析令yax2(a2)x2(x2x)a2x2，是关于a的函数，由题意得 (x2x)2x20或 (x2x)32x20.即x2 x20，或3x2x20. 解可得x1或x2，解可得x1或x.则实数x的取值范围为.15关于x的不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R，则实数a的取值范围是_答案解析当a210时，a1或a1，若a1，不等式为10，恒成立，若a1，不等式为2x10，解得x，不符合题意，当a210时，若要不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R，则a210，且(a1)24(a21)0，解得a1，综上可得a1.16已知函数ymx2mx6m，若对于1m3，y0恒成立，求实数x的取值范围解y0mx2mx6m0(x2x1)m60.1m3，x2x1恒成立，x2x1x2x10x.实数x的取值范围为.
