1、第2课时奇偶性的应用学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式一、根据函数奇偶性求函数的解析式知识梳理用奇偶性求解析式的步骤：如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)例1(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x3，求f(x)的解析式解当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是
2、奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.即当x0时，f(x)x22x3.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0.故f(x)(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)，求函数f(x)，g(x)的解析式解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x).用x代替上式中的x，得f(x)g(x)，f(x)g(x)，()2，得f(x)；()2，得g(x).延伸探究1在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x0时，f(x)的解析式解当x0，f(x)(x)2
3、2(x)3x22x3，由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.即当x0时，f(x)x22x3.2在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式解f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，又f(x)g(x)，用x代替上式中的x，得f(x)g(x)，即f(x)g(x).联立得f(x)，g(x).反思感悟(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为x，此时x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函
4、数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为x，构造方程组求解提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数，未必有f(0)0.跟踪训练1(1)已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，当x(，0)时，求f(x)的解析式解设x0，则f(x)(x)2(x)1x2x1，又f(x)在R上为偶函数，当x(，0)时，f(x)f(x)x2x1.(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，则x0，则f(x)(x)2(x)x2x.又f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)x2x.又函数的
5、定义域为R，f(0)0，综上可知f(x)二、利用函数奇偶性与单调性比较大小问题想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(2，1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(2，1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？提示奇函数在(1,2)上单调递减，偶函数在(1,2)上单调递增知识梳理1若f(x)为奇函数且在区间a，b(ab)上单调递增，则f(x)在b，a上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)2若f(x)为偶函数且在区间a，b(ab)上单调递增，则f(x)在b，a上单调递减，即在对称区间上单调性相反3若f(x)为奇函数且在区间a，b(ab)上有最大值为M，则
6、f(x)在b，a上有最小值为M.4若f(x)为偶函数且在区间a，b(ab)上有最大值为N，则f(x)在b，a上有最大值为N.以上a，b符号相同例2已知f(x)是奇函数，且在区间0，)上单调递增，则f(0.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0.5)f(0)f(1)Bf(1)f(0.5)f(0)Cf(0)f(0.5)f(1)Df(1)f(0)f(0.5)答案B解析函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间0，)上单调递增，f(x)在R上单调递增，f(1)f(0.5)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)答案A解析由偶函数与单调性的关系知，若
7、x0，)，f(x)单调递增，则x(，0时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|f(3)f(2)三、利用函数的单调性与奇偶性解不等式例3设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解因为f(x)是奇函数且f(x)在0,2上单调递减，所以f(x)在2,2上单调递减所以不等式f(1m)f(m)等价于解得1m.所以实数m的取值范围为.反思感悟利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的
8、形式；根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域跟踪训练3已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若f(3)0，则0的解集为_答案x|3x3解析f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，f(x)在区间(0，)上单调递减f(3)f(3)0.当x0时，由f(x)3；当x0，解得3x0.故所求解集为x|3x31知识清单：(1)利用奇偶性求函数的解析式(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式2方法归纳：转化法、数形结合法3常见误区：解不等式易忽视函
9、数的定义域1设函数f(x)若f(x)是奇函数，则g(2)等于()A1 B0 C1 D2答案B解析由已知可得g(2)f(2)f(2)(2222)0.2设偶函数f(x)在区间(，1上单调递增，则()Aff(1)f(2)Bf(2)ff(1)Cf(2)f(1)fDf(1)ff(2)答案B解析f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(2)f(2)又f(x)在区间(，1上单调递增，且21，f(2)f(2)ff(1)3已知函数f(x)为奇函数，则ab等于()A1 B1C0 D2答案C解析当x0，f(x)为奇函数，f(x)f(x)即ax2bxx2x，a1，b1.故ab0.4已知定义在R上的偶函数f(x)在(，0
10、上单调递增，若f(a)f(3)，则实数a的取值范围是_答案(3,3)解析由题意可知|a|3，解得3a3.1设函数f(x)为奇函数，则实数a 等于()A1 B1C0 D2答案A解析根据题意，得f(x)f(x)0，即0，变形可得(a1)x0，则a1.2若函数f(x)ax2(2a)x1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为()A(，0 B0，)C(，) D1，)答案A解析因为函数为偶函数，所以a20，a2，即函数f(x)2x21，所以函数f(x)在(，0上单调递增3如果奇函数f(x)在区间3，1上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间1,3上()A单调递增且最小值为5B单调递增且最大值为5C
11、单调递减且最小值为5D单调递减且最大值为5答案A解析f(x)为奇函数，f(x)在1,3上的单调性与3，1上一致且f(1)为最小值，又已知f(1)5，f(1)f(1)5，f(1)5.4设函数f(x)且f(x)为偶函数，则g(2)等于()A6 B6 C2 D2答案A解析g(2)f(2)f(2)2226.5若奇函数f(x)在(，0)上的解析式为f(x)x(1x)，则f(x)在(0，)上有()A最大值 B最大值C最小值 D最小值答案B解析方法一当x0时，f(x)有最大值.方法二(直接法)当x0时，x0时，f(x)有最大值.6. (多选)一个偶函数定义在区间7,7上，它在0,7上的图象如图所示，下列说法
12、正确的是()A这个函数有三个单调递增区间B这个函数有两个单调递减区间C这个函数在其定义域内有最大值7D这个函数在其定义域内有最小值7答案AC解析根据偶函数在0,7上的图象及其对称性，作出函数在7,0上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是7.7若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_答案f(2)f(1)f(0)解析f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，m0，即f(x)x22.f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在
13、0，)上单调递减，f(2)f(1)f(0)，即f(2)f(1)0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)1，即x0时，f(x)1.9已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f(x)在(1,1)上是减函数，解不等式f(1x)f(12x)0.解f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，由f(1x)f(12x)0，得f(1x)f(12x)，即f(1x)f(2x1)又f(x)在(1,1)上是减函数，解得0x，原不等式的解集为.10已知yf(x)是奇函数，它在(0，)上单调递增，且f(x)0，试问F(x)在(，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论解F(x)在(，0)上单调递减
14、证明如下：任取x1，x2(，0)，且x1x20.因为yf(x)在(0，)上单调递增，且f(x)0，所以f(x2)f(x1)f(x1)0.于是F(x1)F(x2)0，即F(x1)F(x2)，所以F(x)在(，0)上单调递减11已知函数f(x)ax3bx1(ab0)，若f(2 022)k，则f(2 022)等于()Ak BkC1k D2k答案D解析方法一令g(x)ax3bx(ab0)，则g(x)是奇函数，从而f(2 022)g(2 022)1g(2 022)1.又因为f(2 022)k，所以g(2 022)k1，从而f(2 022)(k1)12k.方法二因为f(x)f(x)ax3bx1ax3bx1
15、2，所以f(2 022)f(2 022)2.又因为f(2 022)k，所以f(2 022)2k.12设奇函数f(x)在(0，)上单调递减，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)答案C解析f(x)为奇函数，0，即1时，f(x)0，0.奇函数的图象关于原点对称，在(，0)上f(x)单调递减且f(1)0，当x0，0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析f(x)为偶函数，f(x1)f(|x1|)，又f(2)0，f(x1)0，f(|x1|)f(2)|x1|,20，)，且f(x)在0，)上单调递减，|x1|2，即2x12，x的取
16、值范围为(1,3)15已知定义在R上的奇函数满足f(x8)f(x)，且在区间0,2上单调递增，则()Af(25)f(1)f(80)Bf(25)f(80)f(1)Cf(1)f(25)f(80)Df(1)f(80)f(25)答案D解析f(x8)f(x)，f(25)f(17)f(9)f(1)，同理f(80)f(0)，又奇函数f(x)在区间0,2上单调递增，f(x)在区间2,2上单调递增，f(1)f(0)f(1)，即f(1)f(80)f(25)16已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足下面两个条件：对于任意的x，yR，均有f(xy)f(x)f(y)；当x0时，f(x)0，且f(1)2.试求函数f(x)在3,3上的值域解任取x1，x2，且3x1x23，则x2x10，f(x2x1)0，f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，f(x2)f(x1)f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)在3,3上单调递减，又f(1)2，f(2)f(1)f(1)4，f(3)f(1)f(2)246，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)f(3)6，又f(x)在3,3上单调递减，函数f(x)在3,3上的值域为6,6
