1、4.2.2指数函数的图象与性质(一)学习目标1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题导语请同学们口答指数函数的定义和指数函数的解析式的特征大家有没有用我们昨天学习的方法和你的家长讨论零花钱的事情？一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，所以我们今天学习指数函数的图象和性质一、指数函数的图象问题1用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y2x与yx的图象x21012y2xyx提示(1)124421(2)y2x和yx的图象如图所示问题2通过图象，分析y2x与yx的性质并完成下列表格函数y2xyx定义域xRx
2、R值域(0，)(0，)单调性增函数减函数最值无最值无最值奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特殊点(0,1)(0,1)y的变换情况当x0时，0y0时，y1当x1；当x0时，0y10a1图象性质定义域R值域(0，)最值无最值过定点过定点(0,1)，即x0时，y1函数值的变化当x0时，0y0时，y1当x0时，0y1；当x1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性yax与yx的图象关于y轴对称注意点：(1)函数图象只出现在x轴上方(2)当x0时，有a01，故过定点(0,1)(3)当0a1时，底数越大，图象越靠近y轴(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称例1如图是指数函数y
3、ax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc答案B解析作直线x1，由下到上分别与，相交，所以ba1d1和0a1时，图象的大体形状(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”跟踪训练1已知0mn1，则指数函数ymx，ynx的图象为()答案C解析由于0mn0，13x1，01，10，010，且a1)的图象恒过点(1,4)，则mn等于()A3 B1 C1 D2答案C解析由函数f(x)2axmn(a0，且a1)的图象恒过(1,4)，得m10,2am1n4，解得m1，n2，mn1.(2)要使g(x)3x1t的图象不经过第二象限
4、，则t的取值范围为()At1 Bt0，且a1)的图象恒过的定点是_答案(1，1)解析因为yax的图象过定点(0,1)，所以令x10，即x1，则f(1)1，故f(x)2ax13的图象恒过定点(1，1)(2)已知直线y2a与函数y|2x2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围解函数y|2x2|的图象如图所示要使直线y2a与该图象有两个公共点，则有02a2，即0a0且a1)过定点的问题，要使f(x)0.1函数f(x)x与g(x)x的图象关于()A原点对称 Bx轴对称Cy轴对称 D直线yx对称答案C解析设点(x，y)为函数f(x)x的图象上任意一点，则点(x，y)为g(x)xx的图象上的点因为点(x
5、，y)与点(x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)x与g(x)x的图象关于y轴对称2指数函数yax与ybx的图象如图所示，则()Aa0，b0Ba0C0a1D0a1,0b1答案C解析结合指数函数图象的特点可知0a1.3函数f(x)3ax1(a0，且a1)的图象恒过定点()A(1,2) B(1,2) C(1,1) D(0,2)答案A解析yax的图象恒过定点(0,1)，令x10，即x1，则f(1)2.故f(x)3ax1的图象恒过定点(1,2)4函数的定义域为_答案x|x1解析由x210，得x1，函数的定义域为x|x11函数y2x1的图象是()答案A解析当x0时，y2，且函数单调递增2函数的定义域是(
6、)AR Bx|x1C. x|x0 Dx|x0且x1答案C解析要使有意义，只需有意义，即x0.3函数f(x)ax与g(x)xa的图象大致是()答案A解析当a1时，函数f(x)ax单调递增，当x0时，g(0)a1，此时两函数的图象大致为选项A.4. 函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0答案D解析从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0a1；又当x0时，f(x)1，即ab0，即b0.5设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，0) B(0，) C(，1) D(0,1)答案C解析函数
7、f(x)的图象如图，显然函数f(x)在R上单调递减，f(x1)2x，解得x1，1b1，且1b0，函数的图象如图所示故图象过第一、二、三象限7函数f(x)2ax11的图象恒过定点_答案(1,3)解析令x10，得x1，又f(1)2113，所以f(x)的图象恒过定点(1,3)8若指数函数f(x)(a21)x在R上为减函数，则a的取值范围为_答案(，1)(1，)解析由题意得，0a211，即1a22，a1或1a.9已知函数y3x的图象，怎样变换得到yx12的图象？并画出相应图象解yx123(x1)2.作函数y3x关于y轴的对称图象，得函数y3x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y3(x1)的图象，
8、最后再向上平移2个单位长度就得到函数y3(x1)2x12的图象，如图所示10画出函数y|2x1|的函数图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值解图象如图所示，定义域为R； 值域为y|y0；单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)；有最小值为0，无最大值11已知函数f(x)若存在x1，x2，x3(x1x20，即x1x22，则x1x2x32.由图象知，当x2时，f(x)0,1，所以f(x1x2x3)0,112函数f(x)的图象大致为()答案B解析f(x)由指数函数的图象知B正确13若函数f(x)|x|m1的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围为()Am1 Bm1C0m1 D0m
9、1答案D解析函数f(x)|x|m1的图象与x轴有公共点，即m1|x|有实数解，由于1|x|0，故1m10，解得0m1.14已知实数a，b满足等式ab，给出下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的有_个答案2解析作yx与yx的图象(图略)当ab0时，ab1；当abb0时，也可以使ab.故，都可能成立，不可能成立的关系式是，.15已知函数f(x)(xa)(xb)(其中ab)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是()答案A解析由函数f(x)(xa)(xb)(其中ab)的图象可知0a1，b1，所以函数g(x)axb是减函数，排除选项C，D；又因为函数图象过点(0,1b)(其中1b0，且a1)(1)若f(x)的图象如图所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图象如图所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|m有且仅有一个实数根，求m的取值范围解(1)由图知f(x)的图象过点(2,0)，(0，2)，所以又因为a0，且a1，所以a，b3.(2)由图知f(x)单调递减，所以0a1，又f(0)0，即a0b0，所以b1.故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(，1)(3)由(1)知f(x)()x3，则画出|f(x)|()x3|的图象如图所示，要使|f(x)|m有且仅有一个实数根，则m0或m3.故m的取值范围为3，)0
