人教A版新教材必修第一册《3.3 幂函数》教案(定稿).docx

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1、学习目标1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化,会根据幂函数的单调性比较幂值的大小导语同学们,我们说要想学好数学,就要先了解它的发展史,比如我们今天要学习的幂函数,“幂”其原意是遮盖东西用的布,后来引申为面积九章算术刘徽注:“凡广纵相乘谓之幂”后来又推广引申为多次乘方的结果到了明清时代,既称面积为幂,也称平方或立方为幂清末之后,幂逐渐开始专指乘方概念一、幂函数的概念问题1下面几个实例,观察它们得出的函数解析式,有什么共同特征?(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 kg,那么她需要支付p元,这里p是的函数;(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S

2、a2,这里S是a的函数;(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积Vb3,这里V是b的函数;(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c,这里c是S的函数;(5)如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v km/s,即vt1,这里v是t的函数提示这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数知识梳理幂函数的概念一般地,函数yx叫做幂函数,其中x是自变量,是常数注意点:(1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1.(3)是任意常数(4)函数的定义域与有关例1(1)在函数y,y2x2,yx2x,y1中,幂函数的个数为()A0 B1 C2

3、 D3答案B解析yx2,是幂函数;y2x2由于出现系数2,因此不是幂函数;yx2x是两项和的形式,不是幂函数;y1x0(x0),可以看出,常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y1不是幂函数(2)已知y(m22m2)2n3是幂函数,求m,n的值解由题意得解得或所以m3或1,n.反思感悟幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式,需满足:指数为常数,底数为自变量x,自变量x前的系数为1.形如y(3x),y2x,yx5,形式的函数都不是幂函数(2)若一个函数为幂函数,则该函数也必具有yx(为常数)这一形式跟踪训练1若函数f

4、(x)是幂函数,且满足f(4)16,则f(4)_.答案16解析设f(x)x,f(4)16,416,解得2,f(x)x2,f(4)(4)216.二、幂函数的图象与性质问题2根据之前所学,我们应该从哪些方面来研究幂函数?提示根据函数解析式先求出函数的定义域,然后画出函数图象,再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题问题3你能在同一坐标系下作出yx,yx2,yx3,y,yx1这五个函数的图象吗?提示问题4观察函数图象以及函数解析式,完成下表yxyx2yx3y yx1定义域值域奇偶性单调性提示RRR0,)x|x0R0,)R0,)y|y0奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数增

5、函数在0,)上单调递增,在(,0上单调递减增函数在0,)上单调递增在(0,)上单调递减,在(,0)上单调递减知识梳理通过以上信息,我们可以得到:(1)函数yx,yx2,yx3,y和yx1的图象都通过点(1,1);(2)函数yx,yx3,yx1是奇函数,函数yx2是偶函数;(3)在区间(0,)上,函数yx,yx2,yx3,y单调递增,函数yx1单调递减;(4)在第一象限内,函数yx1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近注意点:一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0,)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都过点(1,1)(2)当0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0,)上

6、单调递增特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当1时,幂函数的解析式为yx;当01时,幂函数的图象上凸(3)当1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列例2如图所示,图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象,已知n取2,四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为()A2,2B2,2C,2,2,D2,2,答案B解析根据幂函数yxn的性质,在第一象限内的图象,当n0时,n越大,yxn递增速度越快,故C1的n2,C2的n;当nf(a1)的实数a的取值范围解该函数图象过点(2,),m2m2,m1或m2(舍去),f(x).由f(2a)f(a1),得解得1af(a1)的

7、实数a的取值范围为.1知识清单:(1)幂函数的定义(2)几个常见幂函数的图象(3)幂函数的性质2方法归纳:待定系数法、数形结合法、分类讨论法3常见误区:易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质1下列函数中不是幂函数的是()Ay Byx3Cy3x Dyx1答案C解析只有y3x不符合幂函数yx的形式2已知幂函数yf(x)的图象经过点,则f(2)等于()A. B2 C. D.答案A解析设幂函数为yx,幂函数的图象经过点,4,1,yx1,f(2)21.3图中C1,C2,C3为三个幂函数yx在第一象限内的图象,则解析式中指数的值依次可以是()A.,3,1B1,3,C.,1,3D1,3答案D解析由幂函

8、数yx在第一象限内的图象,结合幂函数的性质,可得图中C1对应的0,C2对应的01,C3对应的1,结合选项知,指数的值依次可以是1,3.4若幂函数y(2a2a)xa在(0,)上单调递减,则a_.答案1解析2a2a1,解得a1或a.当a时,y,在(0,)上单调递增,与已知不符,舍去;当a1时,yx1,在(0,)上单调递减,与已知相符,综上所述,a1.1下列函数:yx3;yx;y4x2;yx51;y(x1)2;yx;yax(a1)其中幂函数的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析为自变量在指数位置,中系数不是1,中解析式为多项式,中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数2若幂函数的图象过点(3,)

9、,则该幂函数的解析式是()Ayx1 ByCyx2 Dyx3答案B解析设yx,则3,y.3. 若四个幂函数yxa,yxb,yxc,yxd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是()Adcba BabcdCdcab Dabdc答案B解析在第一象限内,x1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数由小到大,所以abcd.4已知幂函数f(x)x4m(mN*)为奇函数,且在区间(0,)上单调递增,则m等于()A1 B2 C1或3 D3答案C解析因为f(x)x4m在(0,)上单调递增,所以4m0.所以m4.又因为mN*,所以m1,2,3.又因为f(x)x4m是奇函数,所以4m是奇数,所以m1或3

10、.5函数y1的图象关于x轴对称的图象大致是()答案B解析y的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y1的图象可看作是由y的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示),则y1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.6以下结论中,正确的为()A当0时,函数yx的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C若幂函数yx的图象关于原点对称,则yx在定义域内y随x的增大而增大D幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限答案D解析当0时,函数yx的定义域为x|x0,xR,故A不正确;当2.5,则的取值范围是_答案(,0)解析因为02.42.5,所以yx在(0,)上

11、单调递减故0.8若幂函数f(x)过点(2,8),则满足不等式f(a3)f(a1)0的实数a的取值范围是_答案(,2解析由题意,不妨设f(x)x,因为幂函数f(x)过点(2,8),则f(2)28,解得3,故f(x)x3为定义在R上的奇函数,且f(x)为增函数,因为f(a3)f(a1)0,则f(a3)f(a1)f(1a),故a31a,解得a2,从而实数a的取值范围是(,29比较下列各组数的大小:(1)和;(2)和 .解(1)函数y在(0,)上单调递减,又3.(2)函数y在(0,)上单调递增,而,所以.10已知幂函数f(x)(m25m7)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)f(x

12、)ax3在1,3上不是单调函数,求实数a的取值范围解(1)由m25m71可得m2或m3,又f(x)为偶函数,则m3,所以f(x)x2.(2)g(x)x2ax323在1,3上不单调,则对称轴x满足13,即2a6.所以实数a的取值范围为(2,6)11在同一坐标系内,函数yxa(a0)和yax的图象可能是()答案C解析选项A中,幂函数的指数a1,则函数yax应为增函数,B错误;选项D中,幂函数的指数a0,函数yax与y轴交点的纵坐标应为正,D错误12已知函数f(x),若0ab1,则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)ffBfff(b)f(a)Cf(a)f(b)ffDff(a)ff(b)答案C解析

13、因为函数f(x)在(0,)上单调递增,又0ab1,故f(a)f(b)f0,在(,0)上单调递增,所以三个性质中有两个正确,符合条件;同理可判断中函数不符合条件15为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密)现在加密密钥为yx(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是_答案9解析由题意,得24,解得,则y,由3,得x9,即明文是9.16已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称且在(0,)上单调递减,求满足的a的取值范围解因为函数在(0,)上单调递减,所以3m90,解得m32a0或32aa10或a1032a,解得a或a1.故a的取值范围是.

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