1、学习目标1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小导语同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积九章算术刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂”后来又推广引申为多次乘方的结果到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念一、幂函数的概念问题1下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 kg，那么她需要支付p元，这里p是的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S
2、a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积Vb3，这里V是b的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c，这里c是S的函数；(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v km/s，即vt1，这里v是t的函数提示这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数知识梳理幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数注意点：(1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1.(3)是任意常数(4)函数的定义域与有关例1(1)在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为()A0 B1 C2
3、 D3答案B解析yx2，是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y1不是幂函数(2)已知y(m22m2)2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得解得或所以m3或1，n.反思感悟幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，需满足：指数为常数，底数为自变量x，自变量x前的系数为1.形如y(3x)，y2x，yx5，形式的函数都不是幂函数(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有yx(为常数)这一形式跟踪训练1若函数f
4、(x)是幂函数，且满足f(4)16，则f(4)_.答案16解析设f(x)x，f(4)16，416，解得2，f(x)x2，f(4)(4)216.二、幂函数的图象与性质问题2根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？提示根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题问题3你能在同一坐标系下作出yx，yx2，yx3，y，yx1这五个函数的图象吗？提示问题4观察函数图象以及函数解析式，完成下表yxyx2yx3y yx1定义域值域奇偶性单调性提示RRR0，)x|x0R0，)R0，)y|y0奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数增
5、函数在0，)上单调递增，在(，0上单调递减增函数在0，)上单调递增在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递减知识梳理通过以上信息，我们可以得到：(1)函数yx，yx2，yx3，y和yx1的图象都通过点(1,1)；(2)函数yx，yx3，yx1是奇函数，函数yx2是偶函数；(3)在区间(0，)上，函数yx，yx2，yx3，y单调递增，函数yx1单调递减；(4)在第一象限内，函数yx1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近注意点：一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)(2)当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上
6、单调递增特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当1时，幂函数的解析式为yx；当01时，幂函数的图象上凸(3)当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列例2如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，答案B解析根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象，当n0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n；当nf(a1)的实数a的取值范围解该函数图象过点(2，)，m2m2，m1或m2(舍去)，f(x).由f(2a)f(a1)，得解得1af(a1)的
7、实数a的取值范围为.1知识清单：(1)幂函数的定义(2)几个常见幂函数的图象(3)幂函数的性质2方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法3常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质1下列函数中不是幂函数的是()Ay Byx3Cy3x Dyx1答案C解析只有y3x不符合幂函数yx的形式2已知幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)等于()A. B2 C. D.答案A解析设幂函数为yx，幂函数的图象经过点，4，1，yx1，f(2)21.3图中C1，C2，C3为三个幂函数yx在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是()A.，3，1B1,3，C.，1,3D1，3答案D解析由幂函
8、数yx在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得图中C1对应的0，C2对应的01，C3对应的1，结合选项知，指数的值依次可以是1，3.4若幂函数y(2a2a)xa在(0，)上单调递减，则a_.答案1解析2a2a1，解得a1或a.当a时，y，在(0，)上单调递增，与已知不符，舍去；当a1时，yx1，在(0，)上单调递减，与已知相符，综上所述，a1.1下列函数：yx3；yx；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂函数的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析为自变量在指数位置，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数2若幂函数的图象过点(3，)
9、，则该幂函数的解析式是()Ayx1 ByCyx2 Dyx3答案B解析设yx，则3，y.3. 若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()Adcba BabcdCdcab Dabdc答案B解析在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数由小到大，所以abcd.4已知幂函数f(x)x4m(mN*)为奇函数，且在区间(0，)上单调递增，则m等于()A1 B2 C1或3 D3答案C解析因为f(x)x4m在(0，)上单调递增，所以4m0.所以m4.又因为mN*，所以m1,2,3.又因为f(x)x4m是奇函数，所以4m是奇数，所以m1或3
10、.5函数y1的图象关于x轴对称的图象大致是()答案B解析y的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y1的图象可看作是由y的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，则y1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.6以下结论中，正确的为()A当0时，函数yx的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大而增大D幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限答案D解析当0时，函数yx的定义域为x|x0，xR，故A不正确；当2.5，则的取值范围是_答案(，0)解析因为02.42.5，所以yx在(0，)上
11、单调递减故0.8若幂函数f(x)过点(2,8)，则满足不等式f(a3)f(a1)0的实数a的取值范围是_答案(，2解析由题意，不妨设f(x)x，因为幂函数f(x)过点(2,8)，则f(2)28，解得3，故f(x)x3为定义在R上的奇函数，且f(x)为增函数，因为f(a3)f(a1)0，则f(a3)f(a1)f(1a)，故a31a，解得a2，从而实数a的取值范围是(，29比较下列各组数的大小：(1)和；(2)和 .解(1)函数y在(0，)上单调递减，又3.(2)函数y在(0，)上单调递增，而，所以.10已知幂函数f(x)(m25m7)xm1为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x
12、)ax3在1,3上不是单调函数，求实数a的取值范围解(1)由m25m71可得m2或m3，又f(x)为偶函数，则m3，所以f(x)x2.(2)g(x)x2ax323在1,3上不单调，则对称轴x满足13，即2a6.所以实数a的取值范围为(2,6)11在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()答案C解析选项A中，幂函数的指数a1，则函数yax应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a0，函数yax与y轴交点的纵坐标应为正，D错误12已知函数f(x)，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)ffBfff(b)f(a)Cf(a)f(b)ffDff(a)ff(b)答案C解析
13、因为函数f(x)在(0，)上单调递增，又0ab1，故f(a)f(b)f0，在(，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断中函数不符合条件15为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)现在加密密钥为yx(为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是_答案9解析由题意，得24，解得，则y，由3，得x9，即明文是9.16已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称且在(0，)上单调递减，求满足的a的取值范围解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m32a0或32aa10或a1032a，解得a或a1.故a的取值范围是.
