1、第1课时不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小导语大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；再比如说：新冠疫苗接种速度的快与慢的比较正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”一、用不等式(组)表示不等关系问题1生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？提示最低限速50 km/h，v50.限制质量10 t，010.限制高度3.5 m,0h3.5.限制宽度3 m,
2、0x3.时间范围7：3010：00,7.5t10.问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(1)某社会团体成员要求，男性成员人数m应不多于50人，女性成员人数n不少于10人(2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000；(3)若小明的身高为x，小华的身高为y，小明比小华矮；(4)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(5)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图)提示(1)(2)设月薪为x元，则x3 000.(3)xy.(4)(5)CD注意点：(1)仔细审题，尤其注意同一个题目的单位是否一致(2)用适当的不等号连接(3)多个不等关系用不等式组表示例1
3、某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则反思感悟用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等(2)适当地设未知数表示变量(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围跟踪训练1用不等式或不等式组表示下面的不等关系(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度
4、h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；(2)a与b的和是非负实数；(3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍解(1)0h4.(2)ab0.(3)二、作差法比较大小问题3在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？提示设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.知识梳理基本事实依据abab0；abab0；abab0，(2x25x3)(x24x2)0，2x25x3x24x2.反思感
5、悟作差法比较两个实数大小的基本步骤跟踪训练2比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小解因为(x3)(x7)(x4)(x6)(x210x21)(x210x24)30，所以(x3)(x7)2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab.于是就有a2b22ab.证明a2b22ab(ab)2.因为a，bR，(ab)20，当且仅当ab时，等号成立，所以a2b22ab0.因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立例3已知a0，b0.(1)求证：a23b22b(ab)；(2)求证：a3b3ab2a2b.证明(1)因为a
6、23b22b(ab)a22abb2(ab)20，当且仅当ab时，等号成立，所以a23b22b(ab)(2)因为a3b3(ab2a2b)a3b3ab2a2ba3ab2b3a2ba(a2b2)b(b2a2)(a2b2)(ab)(ab)(ab)2，因为a0，b0，所以(ab)(ab)20，当且仅当ab时，等号成立，所以a3b3(ab2a2b)0，所以a3b3ab2a2b.反思感悟比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明跟踪训练3设a0，b0，求证：a5b
7、5a4bab4.证明a5b5(a4bab4)(a5a4b)(b5ab4)a4(ab)b4(ba)(a4b4)(ab)(a2b2)(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)(ab)2，因为a0，b0，所以ab0，a2b20，(ab)20，当且仅当ab时，等号成立，所以(a2b2)(ab)(ab)20.所以a5b5a4bab4.1知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系(2)作差法比较大小(3)重要不等式2方法归纳：作差法3常见误区：实际问题中变量的实际意义1某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为()Av120 km/h且d
8、10 mBv120 km/h或d10 mCv120 km/hDd10 m答案A解析v的最大值为120 km/h，即v120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d10 m.2完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是()A5x4yN BMNCM0，MN.4若实数ab，则a2ab_bab2.(填“”或“解析因为(a2ab)(bab2)(ab)2，又ab，所以(ab)20.1下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为()Aab0Cab0 Dab0答案C解析a与b的和是非正数，即ab0.2李辉准备
9、用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A30x60400 B30x60400C30x60400 D30x40400答案B3某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是()A. B.C. D.答案D解析“不低于”即“”，“高于”即“”，“超过”即“”，x95，y380，z45.4若xR，yR，则()Ax2y22xy1 Bx2y22xy1Cx2y20，所以x2y22xy1.5(多选)
10、下列说法正确的是()A某人月收入x不高于2 000元可表示为“xy”C某变量x至少为a可表示为“xa”D某变量y不超过a可表示为“ya”答案BCD解析对于A，x应满足x2 000，故A错；B，C，D正确6已知0a11,0a21，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMN CMN DMN答案B解析0a11,0a21，1a110，1a210，MN.7某商品包装上标有重量5001克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为_答案499x501解析某商品包装上标有重量5001克，若用x表示商品的重量，则1x5001，499x501.8若x(a3)(a5)，y(a2)(a4)，
11、则x与y的大小关系是_答案xy解析因为xy(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，所以x1.5，身高不足1.2米可表示为h1.5h1.2P16010一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)解由题意知解得a.又aN*，a5，b7，所求的两位数为57.11足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每
12、辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满则A队有出租车()A11辆 B10辆 C9辆 D8辆答案B解析设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x3)辆，由题意，得解得x1，a21，设P，Q1，则P与Q的大小关系为()APQ BP1，a21，所以a110,1a20，所以PQ0，所以Ph1h4 Bh1h2h3Ch3h2h4 Dh2h4h1答案A解析根据四个杯的形状分析易知h2h1h4或h2h3h4.14已知a，bR，若ab1，则a2b2的最小值是_，当且仅当ab_时取得最小值答案21解析根据a2b22ab(ab)20，故a2b22ab2，当且仅当ab0即ab1时等号成立15我国经典数学名
13、著九章算术中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为()A6钱 B7钱 C8钱 D9钱答案C解析依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78x)根，每根单价为(m1)钱，所以576mx(78x)(m1)，即78mx654，即x6(10913m)，因为0x78，所以，根据选项m8，x30，所以买大竹子30根，每根8钱16有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余1
14、9人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数解设宿舍有x间，则学生有(4x19)人，依题意，得解得xbbb，bcac不可逆3可加性abacbc可逆4可乘性ab，c0acbcab，c0acb，cdacbd同向6同向同正可乘性ab0，cd0acbd同向7可乘方性ab0anbn(nN，n2)同正注意点：(1)若ab0，则0；若ab0，则0.(2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法运算例1对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A若ab，则ac2bc2B若ab0，则C若abD若ab，则a0，bb0，有ab0，故B为假命题；，故C为假命题；abb，a0且b0，故D为真命题
15、方法二特殊值排除法取c0，则ac2bc2，故A错；取a2，b1，则，1.有，故B错；取a2，b1，则，2，有，故C错反思感悟利用不等式的性质判断命题真假的注意点(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算跟踪训练1(多选)若|b| BabCabb3答案CD解析由0可得ba0，从而|a|b|，A，B均不正确；ab0，则abb3，D正确二、利用不等式的性质证明不等式例2已知cab0，求证：.证明，cab0，ab0，ca
16、0，cb0，.延伸探究作差法是比较判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例吗？证明方法一因为ab0，所以0，所以，所以11，即ab0，所以ca0，cb0.所以.方法二因为cab0，所以0cacb，所以00，又因为ab0，所以.反思感悟(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件跟踪训练2已知ab0，c.证明方法一，ab0，c0，ba0，0，.方法二ab0，0，c0，.三、利用不等式的性质求代数式的取值范围例3已知
17、6a8,2b3，求2ab，ab及的取值范围解因为6a8,2b3，所以122a16，所以102ab19.又因为3b2，所以9ab6.又，当0a8时，04；当6a0时，0a6，所以03，所以30.由得34.反思感悟利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围跟踪训练3已知1a6,3b4，则ab的取值范围是_，的取值范围是_答案3ab32解析3b4，4b3.14ab63，即3ab3.又，即b等价的不等式是()
18、A|a|b| Ba2b2C.1 Da3b3答案D解析可利用赋值法令a1，b2，满足ab，但|a|b|，a2b2，bac2bc2 B.abC. D.答案C解析当c0时，A不成立；当c0时，B不成立；abb，C成立；同理可证D不成立3若1a3，4b2，那么a|b|的范围是()A3a|b|3 B3a|b|5C3a|b|3 D1a|b|4答案C解析4b2，0|b|4，4|b|0.又1a3，3a|b|”或“b，cb0，cdb0，那么_；(4)如果abc0，那么_.答案(1)(2)(3)(4)1如果a0，那么下列不等式中一定正确的是()A. B.Ca2|b|答案A解析a0，0，b，cd，则abcdB若ab
19、，则cab，cD若a2b2，则ab答案B解析选项A，取a1，b0，c2，d1，则abb，所以ab，所以cab0，c0d时，不成立；选项D，当a1，b0时不成立3设a，bR，若a|b|0 Ba3b30Ca2b20 Dab0答案D解析本题可采用特殊值法，取a2，b1，则ab0，a3b30，ab10，bbba BababCabba Dabab答案C5若a，b都是实数，则“0”是“a2b20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A6(多选)给出下列命题，其中正确的命题是()Aaba2bab2 Ba|b|a2b2Caba3b3 D|a|ba2b2答案BC解析对于A，
20、当a0，b0时不成立；选项B一定成立；对于C，当ab时，a3b3(ab)(a2abb2)(ab)0成立；对于D，当b3，但22(3)2.7设a，b，c是任意实数，能够说明“若cba且ac0，则abac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_答案1,0，1(答案不唯一)解析若cba且ac0，则a0，c0，则取a1，b0，c1，则满足条件ac0，但abac不成立8若Ay|y1，且aA，若m，则m的取值范围是_答案0m解析若Ay|y1，且aA，则a1，所以a23，所以0，即0m.9已知1a2,2b4，求3ab与的取值范围解因为1a2,2b4，所以33a6，4b2，所以13ab4，1.10下面是甲、
21、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因甲：因为6a8，4b2，所以2ab6.乙：因为2b3，所以，又因为6a8，所以24.丙：因为2ab4，所以4ba2.又因为2ab2，所以0a3，3b0，所以3ab3.解甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6a8，不明确a值的正负故不能将与6a8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形丙同学
22、将2ab4与2ab2两边相加得0a3，又将4ba2与2ab2两边相加得出3b0，又将该式与0a3两边相加得出3ab2且b1”是“ab3且ab2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A12已知xyz，xyz0，则下列不等式中一定成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|答案C解析因为xyz，xyz0，所以3xxyz0,3z0，zxz.13有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知abcd，adbc，acbac BbcdaCdbca Dcadb答案A解析abcd，adbc，ad(ab)bc(cd)，即ac.b
23、d.又acb，abac.14已知三个不等式：ab0；bcad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成_个正确命题答案3解析，(证明略)由得0，又由得bcad0，所以ab0.所以可以组成3个正确命题15某高校在2022年9月初共有m名在校学生，其中有n(mn)名新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例_(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 _.答案变大若mn0，b0，则解析由题意补录了b名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大由于补录后新生人数变为nb，在校生人数增加为mb，故所对应的不等式模型是，即若mn0，b
24、0，则.16已知二次函数yax2bxc满足以下条件：(1)该函数图象过原点；(2)当x1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；(3)当x1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4，求当x2时，y的取值范围解二次函数yax2bxc的图象过原点，c0，yax2bx.又当x1时，1ab2.当x1时，3ab4，当x2时，y4a2b.设存在实数m，n，使得4a2bm(ab)n(ab)，而4a2b(mn)a(mn)b，解得m1，n3，4a2b(ab)3(ab)由可知3ab4,33(ab)6，334a2b46.即64a2b10，故当x2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.第1课时基本不等式学习目
25、标1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题导语从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！一、基本不等式的证明与理解问题1如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？提示正方形的边长AB，
26、故正方形的面积为a2b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式问题2现在我们讨论一种特别的情况，如果a0，b0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？提示用，分别替换上式中的a，b可得到ab2，当且仅当ab时，等号成立我们习惯表示成.问题3上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a0，b0都能成立？请给出证明提示方法一(作差法)0，即，当且仅当ab时，等号成立方法二(性质法)要证，只需证2ab，只需证2ab0，只需证()20，显然()20成立，当且仅当ab时，等
27、号成立方法三(利用几何意义证明)如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有ACDDCB，故CD，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为，由此也可以得出圆的半径不小于半弦知识梳理1基本不等式：如果a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立2其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数3两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数二、求简单代数式的最值例1已知x0，求x的最小值解因为x0，所以x24，当且仅当x，即x2时等号成立，因此所求的最小值为4.延伸探究1当x0时，求x的最大值解原多项式可变为x，因为x0，故有x2
28、4，所以4，当且仅当x，即x2时等号成立故原式的最大值为4.2当x1时，求x的最小值解因为x1，故有x10，所以xx11215，当且仅当x1，即x3时等号成立因此所求的最小值为5.反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可跟踪训练1(多选)下面四个推导过程正确的有()A若a，b为正实数，则22B若aR，a0，则a24C若x，yR，xy0，则22D若a0，b0，则ab答案AC解析A中，a，b为正
29、实数，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；B中，aR，a0，不符合基本不等式的条件，故B错误；C中，由xy0，b0时，有；ab2；ab2.由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值知识梳理最值定理已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当xy时，和xy有最小值2；(2)如果和xy等于定值S，那么当且仅当xy时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大注意点：(1)三个关键点：一正、二定、三相等一正：各项必须为正；二定：各项之和或各项之积为定值；三相等：必须验证取等号时的条件是否具备(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换例2(1)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77C81 D82答案C解析因为x0，y0，所以，即xy281，当且仅当xy9时，等号成立，即(xy)max81.(2)若m0，n0，mn81，则mn的最小值是()A4 B4 C9 D18答案D解析因为m0，n0，mn81，所以mn2
