1、4.1.1n次方根与分数指数幂学习目标1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生这就是本节课我们要学习的根式一、n次方根问题1如果x2a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3a呢？提示如果x2a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3a，那么x叫做a的立方根，这样的
2、x有一个问题2类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示比如(2)416，我们把2叫做16的4次方根；(3)481，我们把3叫做81的4次方根；(2)532，我们把2叫做32的5次方根；(2)101 024，我们把2叫做1 024的10次方根等类比上述过程，我们可以得到：如果2na，那么我们把2叫做a的n次方根知识梳理1n次方根的定义一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.2n次方根的性质n为奇数n为偶数aRa0a0a1)(4)|a|(n为大于1的偶数)注意点：(1)对于()na，若n为奇数，则aR；若n为偶数，则
3、a0.(2)()n与意义不同，比如3，3，而()4没有意义，故()n.(3)当a0时，()n；当a0且n为奇数时，()n；当a0且n为偶数时，对于要注意运算次序例1(1)化简下列各式：()5；()6；.解原式(2)(2)4.原式|2|2224.原式|x2|(2)已知3x3，求的值解原式|x1|x3|，3x3，当3x1时，原式(x1)(x3)2x2；当1x3时，原式(x1)(x3)4.原式延伸探究在本例(2)中，若将“3x3”变为“x3”，则结果又是什么？解原式|x1|x3|.x3，x10，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？提示，.知识梳理根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指
4、数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)拓展：ars(a0，r，sQ)r(a0，b0，rQ)注意点：(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法(2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数例2(1)化简的结果是()A. B. C3 D5(2)(a0)的分数指数幂表示为()A B C D都不对(3)
5、化简(a0)的结果是()A. B. C. D.答案(1)A(2)A(3)B解析(1)原式1.(2)原式.(3)原式.反思感悟根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题跟踪训练2(1)求值：_.(2)用分数指数幂表示a(a0)_.答案(1)(2)解析(1)原式 .(2)原式 .三、有理数指数幂的运算性质例3(1)_.(式中字母均是正数)答案解析原式a1.(2)计算：.解原式122.反思感悟关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方
6、，再乘除，最后加减(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错跟踪训练3(1)；(2)(x，y0)解(1)原式1.(2)原式x2y.1知识清单：(1)n次方根的概念、表示及性质(2)根式的概念及性质(3)分数指数幂与根式的相互转化(4)分数指数幂的运算性质2方法归纳：转化法3常见误区：(1)对于，当n为偶数时，a0.(2)混淆()n和.1()4运算的结果是()A2 B2C2 D不确定答案A解析()42.2若a，则化简的结果是()A4a1 B14aC D答案B解析a，4a10，|4a1|(4a1)14a.3在 a2nana3n；223365；323281；a2a35a；(a
7、)2(a)3a5中，计算正确的式子有()A4个 B3个C2个 D1个答案C解析a2nana3n，正确；652535，故223365，故错误；32329981，正确；a2a3a5，故错误；(a)2(a)3(a)5，故错误4计算：0.254420_.答案4解析原式164114444.1若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A. B. C. D.答案D解析当a0，b0)的结果是()A. B C. D答案C解析4.4下列等式一定成立的是()A BC(a3)2a9 D答案D解析同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)namn，326，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确5若a0，将
8、表示成分数指数幂，其结果是()A B C D答案C解析由题意得.6(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()AB.(y0)C(x0)D(x0)答案BCD解析A项错误，(x0)，而(x0)；B项正确，(y0)；C项正确，(x0)；D项正确，(x0)7当x0时，x_.答案1解析原式x|x|xx11.8方程3x1的解是_答案x1解析3x132x12x1.9化简下列各式：(1)；(2)(x1)解(1)|3|2|321.(2)当1x0，b0)；(2)求值：.解(1) .(2)11.11已知m102，则m等于()A. B C. D答案D解析m102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个
9、，且互为相反数m.12若有意义，则x的取值范围是()AR B.C. D.答案D解析将分数指数幂化为根式，可知需满足12x0，解得x0，a，b，c，因此abck01.4.1.2无理数指数幂及其运算性质学习目标1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质一、无理数指数幂的运算问题阅读课本108页的探究，你发现了什么？提示可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应知识梳理1无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a(a0，为无理数)是一个确定的实数2实数指数幂的运算法则(1)arasars(a0，r，
10、sR)(2)(ar)sars(a0，r，sR)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rR)(4)拓展：ars(a0，r，sR)注意点：特别强调底数a0，如果a0，比如，无法判断其值是1还是1.例1计算下列各式的值：(1)；(2).解(1)原式23324.(2)原式.反思感悟关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母均是正数)：(1)；(2).解(1)原式26m364m3.(2)原式a01.二、实际问题中的指数运算例2从盛满2升纯酒精的容器里倒
11、出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.答案4解析由题意，得第n次操作后溶液的浓度为n，令n0，所以m3，即3.设n，两边平方得n2xx12725，因为nR，所以n，即.所以xx13，x2x2(xx1)(xx1)21.延伸探究本例(2)的条件不变，求x3x3的值解由xx17平方可得x2x247，所以x3x3(xx1)(x2x21)746322.反思感悟利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键(2)利用整体代换法解决分数指数幂
12、的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式常见的变形公式：x2x2(xx1)2 2，xx1，.跟踪训练3已知am4，an3，则的值为()A. B6 C. D2答案A1.知识清单：(1)无理数指数幂的运算(2)实际问题中的指数运算(3)实数指数幂的综合运用2方法归纳：整体代换法3常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数1计算的结果是()A B. C D.答案D2将化为分数指数幂为()A B C D答案D3已知(x0)，那么等于()A. B C D7答案A解析.又x0，故.4若10x3,10y4，则102xy_.答案解析10x3，
13、102x9，102xy.1已知集合A0,1,2，Bx|x2n，nA，则AB等于()A0,1,2 B0,1，C2,4 D1,2答案D解析由题意得B1,2,4,，又A0,1,2，AB1,22对于a0，b0，以下运算正确的是()Aarasars B(ar)sarsC.rarbr Darbs(ab)rs答案B解析根据实数指数幂的运算性质进行判断3下列运算中正确的是()A B(a2)3(a3)2C(2)01 D答案D解析，故A错误；(a2)3a23a6，(a3)2a6，故B错误；当a4时，(2)0无意义，故C错误；，故D正确4一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时
14、，报纸的厚度为()A2.56厘米 B5.12厘米C10.24厘米 D20.48厘米答案C解析0.0121010.24(厘米)5若3a9b，则下列等式正确的是()Aab1 Bab1Ca2b1 Da2b1答案C解析3a9b3a32b3a2b31，a2b1.6(多选)已知a2a23，则aa1等于()A. B C1 D1答案AB解析(aa1)2a2a225，aa1.7计算：_.答案7解析原式2417.8化简_.答案1解析原式.9已知xx13(x0)，求的值解因为xx13，所以x2x27，所以x3x32(xx1)(x2x21)236220，所以.10已知a2x3，求的值解原式a2x1a2x31.11在算
15、式2中2国2精2神29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为()A4 B3 C2 D1答案B解析由291684124232220，可得“国”字所对应的数字为3.12方程的解是()A B C. D.答案B解析，x12，x.方程的解是x.13已知2a5bm，且2，则m等于()A. B10 C20 D100答案A解析由题意得m0，2am，5bm，2，5，25，m210，m.14已知2x8y1，9y3x9，则xy_.答案27解析由2x8y1，得2x23y3，所以x3y3.由9y3x9，得32y3x9，所以2yx9.联立，解得x21，y6，所以xy27.1
16、522k122k122k等于()A22k B22k1C22k1 D22k1答案C解析原式22k12222k1222k1(142)22k122k1.16已知方程x28x40的两根为x1，x2(x1x2)(1)求xx的值；(2)求的值解由题意知x1x28，x1x24.(1)x10，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.注意点：(1)函数的特征：底数a0，且a1.(2)指数幂的系数为1.例1(1)给出下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是()A0 B1 C2 D4答案B解析中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不
17、是自变量x，故不是指数函数；中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3的底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数；中，底数20，且2a11，解得a，且a1，即a的取值范围是(1，)反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求跟踪训练1(1)下列是指数函数的是()Ay3x ByCyax Dyx答案D解析根据指数函数的特征知，A，B，C不是指数函数(2)若函数y(a23a3)ax是指数函数，则a的值为_答案2解析由指数函数的定义知由得a1或2，结合得a2.二、求指数函数的解析式或求值例2若
18、函数f(x)ax是指数函数，则f的值为()A2 B2C2 D2答案D解析因为函数f(x)是指数函数，所以a31，所以a8，所以f(x)8x，f2.反思感悟(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式跟踪训练2指数函数yf(x)的图象经过点，那么f(2)f(1)等于()A3 B9C27 D81答案C解析由指数函数yf(x)ax(a0，且a1)的图象经过点，可得a2，解得a3，函数的解析式为y3x，f(2)f(1)323
19、127.三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用问题2将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？提示折叠次数对应层数对折后的面积Sx1y221Sx2y422S2x3y823S3由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y2x(xN*)，对折后的面积Sx(xN*)知识梳理1ykax(k0，a0且a1)，当a1时为指数增长型函数模型2ykax(k0，a0且a1)，当0a0时，若a1，则刻画指数增长变化规律；若0a0且a1.1下列各函数中，是指数函数的是()Ay(4)x By4xCy3x1 Dyx答案D解析A中
20、函数的底数不满足大于零，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x1，不是指数函数2若函数y(m2m1)mx是指数函数，则m等于()A1或2 B1C2 D.答案C解析依题意，有解得m2(m1舍去)3为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为()A(10.1250)m BC0.9250m D 答案B解析设每年减少的百分率为a，由题意得，(1a)50110%0.9，1a，由2017年的耕地面积为m，得2022年的耕地面积为(1a)5m.4若函数f(x)是指数函数，且f(2)
21、2，则f(x) _.答案()x解析由题意，设f(x)ax(a0且a1)，则由f(2)a22，得a，所以f(x)()x.1下列函数是指数函数的是()Ayx By(8)xCy2x1 Dyx2答案A解析对于A，函数yx中，a1，是指数函数；对于B，函数y(8)x中，a80，且a1)，由题意得a481，解得a3，f(x)3x.3函数f(x)(2a3)ax是指数函数，则f(1)等于()A8 B. C4 D2答案D解析函数f(x)(2a3)ax是指数函数，2a31，解得a2.f(x)2x，f(1)2.4一种产品的成品是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0xm)的函数
22、，其关系式是()Aya(1p%)x(0xm)Bya(1p%)x(0xm)Cya(p%)x(0xm)Dya(p%)x(0xm)答案B解析产品的成品是a元，1年后，成本为ap%aa(1p%)；2年后，成本为a(1p%)a(1p%)p%a(1p%)2；，x年后，成本ya(1p%)x(0x0且a1)，对于任意实数x，y都有()Af(xy)f(x)f(y)Bf(xy)f(x)f(y)Cf(xy)f(x)f(y)Df(xy)f(x)f(y)答案C解析f(xy)axyaxayf(x)f(y)6(多选)若函数f(x)(m22m2)ax是指数函数，则实数m的值为()A2 B3 C1 D1答案BC解析函数f(x)
23、(m22m2)ax是指数函数，m22m21，解得m3或1.7若函数f(x)(a1)x是指数函数，则实数a的取值范围是_答案(1,2)(2，)解析函数f(x)(a1)x是指数函数，解得a1且a2，实数a的取值范围是(1,2)(2，)8f(x)为指数函数，若f(x)过点(2,4)，则f(f(1)_.答案解析设f(x)ax(a0且a1)，由f(2)4，得a24，解得a，所以f(x)x，所以f(1)12，所以f(f(1)f(2)2.9某林区某年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(
24、x)的解析式，并写出此函数的定义域解由题意得，经过1年后，木材蓄积量y1200(15%)2001.05，经过2年后，木材蓄积量y22001.05(15%)2001.052，经过x年后，木材蓄积量y2001.05x.定义域为N*.10已知函数f(x)(a2a5)ax是指数函数(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)f(x)f(x)的奇偶性，并加以证明解(1)由可得a2，f(x)2x.(2)F(x)f(x)f(x)是奇函数，证明如下：F(x)2x2x，定义域为R，F(x)2x2xF(x)，F(x)是奇函数11已知集合A1,0,1，By|yex，xA，则AB等于()A0 B1 C1 D0,1答案
25、B解析因为A1,0,1，所以B，因此AB112函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)等于()A2x B2x C2x D2x答案C解析当x0时，x0时，f(x)f(x)2x.13已知函数yf(x)，xR，且f(0)2，2，2，2，nN，则函数yf(x)的一个可能的解析式为_答案f(x)24x解析由题意，得4，42，4x，f(x)24x.14某工厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为_万元答案a(17%)4解析2018年产值为a，增长率为7%；2019年产值为aa7%a(17%)(万元)；2020年产值为a(17%)a(17%)7%a(17%
26、)2(万元)；2022年的产值为a(17%)4万元15某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份()A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相等D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4，因为yy(m4a)2m(m8a)16a20，
27、所以y1y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高16牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为ykerx(k，r为常数)若牛奶在0 的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 的冰箱中的保鲜时间是多少？解因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为ykerx(k，r为常数)，所以解得所以y100x，所以当x10时，y1001064，所以在10 的冰箱中的保鲜时间为64 h.4.2.2指数函数的图象与性质(二)学习目标1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题一、利用单调性比较大
28、小例1(1)1.11.1，1.10.9；(2)0.10.2，0.10.9；(3)30.1，0.1；(4)1.70.1，0.91.1；(5)0.70.8，0.80.7.解(1)因为y1.1x是增函数，1.10.9，故1.11.11.10.9.(2)因为y0.1x是减函数，0.20.10.9.(3)因为yx0.1在(0，)上单调递增，3，故30.11.701，0.91.10.91.1.(5)取中间值0.70.7，因为0.70.80.70.70.80.7，故0.70.80.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.80.80.80.80.7)反思感悟一般地，比较幂大小的方法有(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断跟踪训练1(1)下列大小关系正确的是()A0.4330.40 B0.43030.4C30.40.430 D030.40
