1、 数学思想方法是指现实世界的空间形式和数学思想方法是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，是数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，是对数学事实与数学理论的本质认识对数学事实与数学理论的本质认识.数学思想：是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数数学思想：是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，带有普遍的学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，带有普遍的指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想.数学方法：是指从数学角度提出问题、解决问题过程中数学方法：
2、是指从数学角度提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等所采用的各种方式、手段、途径等.数学思想和数学方法是紧密联系的，两者的本质相同，数学思想和数学方法是紧密联系的，两者的本质相同，只是站在不同的角度看问题，故常混称为只是站在不同的角度看问题，故常混称为“数学思想方法数学思想方法”.初中数学中的主要数学思想方法有：初中数学中的主要数学思想方法有：化归与转化思想；化归与转化思想；方程与函数思想；方程与函数思想；数形结合思想；数形结合思想；分类讨论思想；分类讨论思想；统计思想；统计思想；整体思想；整体思想；消元法；消元法；配方法；配方法；待定系数法等待定系数法等.分类讨论思想方法分类
3、讨论思想方法分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想.分类原则：分类原则：(1)(1)分类中的每一部分都是相互独立的；分类中的每一部分都是相互独立的；(2)(2)一次分类必须是同一个标准；一次分类必须是同一个标准；(3)(3)分类讨论应逐级进行分
4、类讨论应逐级进行.分类思想有利于完整地考虑问题，化分类思想有利于完整地考虑问题，化整为零地解决问题整为零地解决问题.分类讨论问题常与开放探索型问题综合在一起，贯穿于代数、分类讨论问题常与开放探索型问题综合在一起，贯穿于代数、几何的各个数学知识板块，不论是在分类中探究，还是在探究几何的各个数学知识板块，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需有扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进中分类，都需有扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全.【例例1 1】(2010(2010常州中考常州中考)如图，如图，已知二次函数已知二次函数y
5、=axy=ax2 2+bx+3+bx+3的图象的图象与与x x轴相交于点轴相交于点A A、C C，与，与y y轴相交轴相交于点于点B B，A(0)A(0)，且，且AOBAOBBOC.BOC.94，(1)(1)求求C C点坐标、点坐标、ABCABC的度数及二次函数的度数及二次函数y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3的关系式；的关系式；(2)(2)在线段在线段ACAC上是否存在点上是否存在点M(mM(m，0).0).使得以线段使得以线段BMBM为直径的圆为直径的圆与边与边BCBC交于交于P P点点(与点与点B B不同不同)，且以点，且以点P P、C C、O O为顶点的三角形为顶点的三角形是等
6、腰三角形？若存在，求出是等腰三角形？若存在，求出m m的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由.【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】(1)(1)由题意，得由题意，得B(0,3).B(0,3).AOBAOBBOCBOC，OAB=OBCOAB=OBC，OC=4OC=4，C(4,0).C(4,0).OAB+OBA=90OAB+OBA=90，OBC+OBA=90OBC+OBA=90.ABC=90.ABC=90.y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3的图象经过点的图象经过点A(0)A(0)，C(4,0)C(4,0)，OAOB2.253.OBOC3OC9,421819aab303.16
7、4716a4b30b1217yxx3.312 ，解得(2)(2)存在存在.如图如图1 1，当，当CP=COCP=CO时，时，点点P P在以在以BMBM为直径的圆上，为直径的圆上，BMBM为圆的直径为圆的直径.BPM=90BPM=90，PMAB.PMAB.CPMCPMCBA.CBA.所以所以CM=5.CM=5.m=-1.m=-1.CPCM4CM,25CBCA54，即如图如图2 2，当，当PC=POPC=PO时，点时，点P P在在OCOC垂垂直平分线上，所以直平分线上，所以PC=PO=PBPC=PO=PB，所以，所以PC=PC=BC=2.5.BC=2.5.由由CPMCPMCBACBA，得，得当当O
8、C=OPOC=OP时，时，M M点不在线段点不在线段ACAC上上.综上所述，综上所述，m m的值为的值为 或或-1.-1.12CPCM25,CM.CBCA8257m4.88所以781.(20111.(2011浙江中考浙江中考)解关于解关于x x的不等式组：的不等式组：a x2x3.9 ax9a8【解析解析】由得由得(a-1)x(a-1)x2a-3,2a-3,由得由得x x当当a=1a=1时，由得时，由得-2-2-3-3成立成立,x,x当当a a1 1时，时，x x当当1 1aa此时不等式组的解是此时不等式组的解是x xa x2x3 9 ax9a8 ，8,98,92a312a1a1，19182,
9、10a19时，8,9当当a a 时，时，此时不等式组的解是此时不等式组的解是x x当当a a1 1时，不等式组的解集为时，不等式组的解集为a a1 1，所以，所以a-1a-10 0，所以不等式组的解为所以不等式组的解为 x x综上所述：当综上所述：当1a 1a 时，不等式组的解集是时，不等式组的解集是x x当当a a 时，不等式组的解集是时，不等式组的解集是x x当当a a1 1时，不等式组的解集为时，不等式组的解集为1918210a19，2a3,a182a3x.9a1 2a3.a189122,a1191089；19102a3a1；82a3x.9a1 数形结合思想数形结合思想数形结合思想是指把
10、问题中的数量关系与形象直观的几何图数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法使问题得到解决的思想方法.在分析问题的过程中，注意把数在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考查，根据问题的具体情形，把图形性质的问和形结合起来考查，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体
11、化，化难为易，获取简便易行的方法为易，获取简便易行的方法.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形数是形的抽象概括，形是数的直观表现，用数形结合的思想解题可的抽象概括，形是数的直观表现，用数形结合的思想解题可分两类：一是利用几何图形的直观表示数的问题，它常借用分两类：一是利用几何图形的直观表示数的问题，它常借用数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形问题，数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形问题，常需要建立方程常需要建立方程(组组)或建立函数关系式等或建立函数关系式等.【例例2 2】(2010(2010曲靖中考曲靖
12、中考)如图，在平如图，在平面直角坐标系面直角坐标系xOyxOy中，抛物线中，抛物线y=xy=x2 2向左向左平移平移1 1个单位，再向下平移个单位，再向下平移4 4个单位，个单位，得到抛物线得到抛物线y=(x-h)y=(x-h)2 2+k,+k,所得抛物线与所得抛物线与x x轴交于轴交于A A、B B两点两点(点点A A在点在点B B的左边的左边)与与y y轴交于点轴交于点C C，顶点为，顶点为D.D.(1)(1)求求h h、k k的值；的值；(2)(2)判断判断ACDACD的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；(3)(3)在线段在线段ACAC上是否存在点上是否存在点M M，使，使AOMAO
13、M与与ABCABC相似相似.若存在，若存在，求出点求出点M M的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由.【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】(1)y=x(1)y=x2 2的顶点坐标为的顶点坐标为(0,0),(0,0),y=(x-h)y=(x-h)2 2+k+k的顶点坐标为的顶点坐标为D(-1,-4),D(-1,-4),h=-1,k=-4.h=-1,k=-4.(2)(2)由由(1)(1)得得y=(x+1)y=(x+1)2 2-4.-4.当当y=0y=0时时,(x+1),(x+1)2 2-4=0,x-4=0,x1 1=-3,x=-3,x2 2=1,=1,A(-3,0),B(1,0)
14、.A(-3,0),B(1,0).当当x=0 x=0时时,y=(x+1),y=(x+1)2 2-4=(0+1)-4=(0+1)2 2-4=-3,-4=-3,CC点坐标为点坐标为(0(0，-3).-3).又因为顶点坐标又因为顶点坐标D(-1,-4),D(-1,-4),作出抛物线的对称轴作出抛物线的对称轴x=-1x=-1交交x x轴于点轴于点E.E.作作DFyDFy轴交轴交y y轴于点轴于点F.F.在在RtRtAEDAED中，中，ADAD2 2=2=22 2+4+42 2=20=20；在在RtRtAOCAOC中，中，ACAC2 2=3=32 2+3+32 2=18=18；在在RtRtCFDCFD中，
15、中，CDCD2 2=1=12 2+1+12 2=2=2；ACAC2 2+CD+CD2 2=AD=AD2 2，ACDACD是直角三角形是直角三角形.(3)(3)存在存在.由由(2)(2)知，知，AOCAOC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，BAC=45BAC=45,在在ACAC上取点上取点M M，连接连接OMOM，过，过M M点作点作MGABMGAB于点于点G,G,AC=AC=若若AOMAOMABC,ABC,则则MGAB,AGMGAB,AG2 2+MG+MG2 2=AM=AM2 2,183 2.AOAM ABAC3AM3 3 29 2AM.4443 2，即，29 28194AGMG,21649
16、3OGAOAG3.4439MM().44（）点在第三象限，若若AOMAOMACBACB，则，则OG=AO-AG=3-2=1.OG=AO-AG=3-2=1.MM点在第三象限，点在第三象限，M(-1M(-1，-2).-2).综上、所述，存在点综上、所述，存在点M M使使AOMAOM与与ABCABC相似，且这样的点相似，且这样的点有两个，其坐标分别为有两个，其坐标分别为(),(-1,-2).(),(-1,-2).AOAMACAB，223AM3 4AM2 2,43 23 22 2AMAGMG2,22即，39,442.(20102.(2010十堰中考十堰中考)如图，点如图，点C C、D D是以是以线段线
17、段ABAB为公共弦的两条圆弧的中点，为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4AB=4，点点E E、F F分别是线段分别是线段CDCD、ABAB上的动点，设上的动点，设AF=xAF=x，AEAE2 2-FE-FE2 2=y,=y,则能表示则能表示y y与与x x的函数关系的图象是的函数关系的图象是()()【解析解析】选选C.C.延长延长CDCD交交ABAB于点于点G G，则则CGABCGAB，AG=BG=2AG=BG=2，AEAE2 2-FE-FE2 2=EG=EG2 2+AG+AG2 2-(EG-(EG2 2+FG+FG2 2)=4-FG=4-FG2 2=4-(2-x)=4-(2-x)2 2=-x=
18、-x2 2+4x,+4x,y=-xy=-x2 2+4x.+4x.且根据题意知且根据题意知x0,y0.x0,y0.故选故选C.C.3.(20103.(2010成都中考成都中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，B=90B=90,AB=12,AB=12 mm,BCmm,BC=24 mm,=24 mm,动点动点P P从从点点A A开始沿边开始沿边ABAB向向B B以以2 mm/s2 mm/s的速度移动的速度移动(不与点不与点B B重合重合)，动点，动点Q Q从点从点B B开始沿边开始沿边BCBC向向C C以以4 mm/s4 mm/s的速度的速度移动移动(不与点不与点C C重合重合).).如果如果P
19、 P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，那么经同时出发，那么经过过_秒秒,四边形四边形APQCAPQC的面积最小的面积最小.【解析解析】设设P P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，那么经过同时出发，那么经过t t秒，四边形秒，四边形APQCAPQC的面积为的面积为S S，则则S=S=ABBC-ABBC-BPBQBPBQ=121224-24-(12-2t)4t,(12-2t)4t,S=4tS=4t2 2-24t+144-24t+144=4(t-3)=4(t-3)2 2+108,+108,当当t=3 st=3 s时，四边形时，四边形APQCAPQC的面积最小的面积最小.答案：答案
20、：3 3121212124.(20104.(2010临沂中考临沂中考)如图，二次函数如图，二次函数y=-xy=-x2 2+ax+b+ax+b的图象与的图象与x x轴交于轴交于A(-A(-，0)0)、B(2B(2，0)0)两点，且与两点，且与y y轴交于点轴交于点C C；12(1)(1)求该抛物线的解析式，并判断求该抛物线的解析式，并判断ABCABC的形状；的形状；(2)(2)在在x x轴上方的抛物线上有一点轴上方的抛物线上有一点D D，且以，且以A A、C C、D D、B B四点为顶四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的四边形是等腰梯形，请直接写出D D点的坐标；点的坐标；(3)(3)在
21、此抛物线上是否存在点在此抛物线上是否存在点P P，使得以，使得以A A、C C、B B、P P四点为顶四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的四边形是直角梯形？若存在，求出P P点的坐标；若不存在，点的坐标；若不存在，说明理由说明理由.【解析解析】(1)(1)根据题意，将根据题意，将A(-A(-，0)0)，B(2B(2，0)0)代入代入y=-xy=-x2 2+ax+b+ax+b中，中，得得解这个方程组，得解这个方程组，得a=b=1,a=b=1,该抛物线的解析式为该抛物线的解析式为y=-xy=-x2 2+x+1,+x+1,当当x=0 x=0时，时，y=1,y=1,点点C C的坐标为的坐标为
22、(0,1),(0,1),在在AOCAOC中，中，1211ab0,4242ab0 3,232在在BOCBOC中，中，ABCABC是直角三角形是直角三角形.222215ACOAOC()1.222222222BCOBOC215.15ABOAOB2,22525ACBC5AB,44(2)(2)点点D D的坐标为的坐标为(1).(1).(3)(3)存在存在.由由(1)(1)知，知，ACBC.ACBC.若以若以BCBC为底边，则为底边，则BCAPBCAP，如图如图1 1所示，可求得直线所示，可求得直线BCBC的解析式为的解析式为y=+1,y=+1,直线直线APAP可以看作是由直线可以看作是由直线BCBC平移
23、得到的，所以设直线平移得到的，所以设直线APAP的解的解析式为析式为y=+b,y=+b,把点把点A(0)A(0)代入直线代入直线APAP的解析式，求得的解析式，求得b=b=32，1x21x212，1.4直线直线APAP的解析式为的解析式为y=y=点点P P既在抛物线上，又在直线既在抛物线上，又在直线APAP上，上，点点P P的纵坐标相等，即的纵坐标相等，即解得解得11x.242311xx1x,224 1251 x,x.2253x,y.2253P(,).22 舍去当时若以若以ACAC为底边，则为底边，则BPACBPAC，如图，如图2 2所示所示.可求得直线可求得直线ACAC的解析式为的解析式为y
24、=2x+1.y=2x+1.直线直线BPBP可以看作是由直线可以看作是由直线ACAC平移得到的平移得到的,所以设直线所以设直线BPBP的解析式为的解析式为y=2x+by=2x+b，把点把点B(2,0)B(2,0)代入直线代入直线BPBP的解析式，求得的解析式，求得b=-4,b=-4,直线直线BPBP的解析式为的解析式为y=2x-4.y=2x-4.点点P P既在抛物线上，又在直线既在抛物线上，又在直线BPBP上，上，点点P P的纵坐标相等的纵坐标相等,即即-x-x2 2+1=2x-4,+1=2x-4,解得解得x x1 1=x=x2 2=2(=2(舍去舍去),),当当x=x=时，时，y=-9y=-9
25、，点点P P的坐标为的坐标为(,-9).(,-9).综上所述，满足题目条件的点综上所述，满足题目条件的点P P为为()()或或().().3x25,2525253,225,92化归转化思想化归转化思想化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思路是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题思路是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规问题化为常规问题，把实际问题数学化，熟悉化，把非常规问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决实现不同的数学问题间的相互转化，这也
26、体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想.【例例3 3】(2009(2009泉州中考泉州中考)如图，等腰梯形花圃如图，等腰梯形花圃ABCDABCD的底边的底边ADAD靠墙，另三边用长为靠墙，另三边用长为4040米的铁栏杆围成，设该花圃的腰米的铁栏杆围成，设该花圃的腰ABAB的的长为长为x x米米.(1)(1)请求出底边请求出底边BCBC的长的长(用含用含x x的代数式表示的代数式表示)；(2)(2)若若BAD=60BAD=60，该花圃的面积为，该花圃的面积为S S米米2 2.求求S S与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式(要指出
27、自变量要指出自变量x x的取值范围的取值范围)，并，并求当求当S=S=时时x x的值；的值；如果墙长为如果墙长为2424米，试问米，试问S S有最大值还是最小值？这个值是多有最大值还是最小值？这个值是多少？少？93 3【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】(1)AB=CD=x(1)AB=CD=x米，米，BC=40-AB-CD=(40-2x)BC=40-AB-CD=(40-2x)米米.(2)(2)如图，过点如图，过点B B、C C分别作分别作BEADBEAD于于E E，CFADCFAD于于F F，在，在RtRtABEABE中，中，AB=xAB=x，BAE=60BAE=60，AE=xAE=x，B
28、E=BE=同理同理DF=DF=x,CFx,CF=又又EF=BC=40-2x,EF=BC=40-2x,AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-xAD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x123x2，123x2，1212解得：解得：x x1 1=6=6，x x2 2=(=(舍去舍去)，x=6.x=6.22133S(402x40 x)xx(803x)22433x20 3x(0 x20)43S93 33x20 3x93 34 当时，2203由题意，得由题意，得40-x2440-x24，解得，解得x16,x16,结合得结合得16x16x20.20.由得，由得，函数图象为开口向下的抛物
29、线的一段，函数图象为开口向下的抛物线的一段，其对称轴为其对称轴为x=x=1616 由上图可知，由上图可知，223 S3x20 3x43404003 x3,4333a3 0,4 （）403，403，当当16x16x2020时，时，S S随随x x的增大而减小，的增大而减小，当当x=16x=16时，时，S S取得最大值取得最大值.此时，此时，S S最大值最大值=233 1620 3 16128 3.45.5.如图，如图，ABCDABCD是一矩形纸片，是一矩形纸片，E E是是ABAB上上的一点，且的一点，且BEEA=53,EC=BEEA=53,EC=把把BCEBCE沿折痕沿折痕ECEC向上翻折，若点
30、向上翻折，若点B B恰好恰好落在落在ADAD边上，设这个点是边上，设这个点是F F，以点，以点A A为为原点，以直线原点，以直线ADAD为为x x轴，以直线轴，以直线BABA为为y y轴建立平面直角坐标系，轴建立平面直角坐标系，则过点则过点F F、点、点C C的一次函数解析式为的一次函数解析式为_._.15 5,【解析解析】BEEA=53,BE=EF,EFEA=53,AFAE=43.BEEA=53,BE=EF,EFEA=53,AFAE=43.AEF=DFC,AEF=DFC,AEFAEFDFC,DFC,设设BE=5x,BE=5x,则则AF=4x,CD=8x,FD=6x,BC=10 x,AF=4x
31、,CD=8x,FD=6x,BC=10 x,又又CE=CE=由勾股定理得由勾股定理得x=3,x=3,所以所以BC=30,AF=12,CD=24BC=30,AF=12,CD=24，F(12,0),C(30,-24),F(12,0),C(30,-24),CFCF的解析式为的解析式为y=+16.y=+16.答案：答案：y=+16y=+16AFDC4,AEDF315 5,4x34x36.(20116.(2011凉山中考凉山中考)我国古代数学的许多发现都曾位居世界我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中前列，其中“杨辉三角杨辉三角”就是一例就是一例.如图，这个三角形的构造如图，这个三角形的构造法则：两
32、腰上的数都是法则：两腰上的数都是1 1，其余每个数均为其上方左右两数之，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了和，它给出了(a+b)a+b)n n(n(n为正整数为正整数)的展开式的展开式(按按a a的次数由大到的次数由大到小的顺序排列小的顺序排列)的系数规律的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个例如，在三角形中第三行的三个数数1 1，2 2，1 1，恰好对应，恰好对应(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2展开式中的系数；第展开式中的系数；第四行的四个数四行的四个数1 1，3 3，3 3，1 1，恰好对应着，恰好对应着(a+b)(a+b)3 3=a=a3
33、3+3a+3a2 2b+3abb+3ab2 2+b+b3 3展开式中的系数等等展开式中的系数等等.(1)(1)根据上面的规律，写出根据上面的规律，写出(a+b)(a+b)5 5的展开式的展开式.(2)(2)利用上面的规律计算：利用上面的规律计算：2 25 5-5-52 24 4+10+102 23 3-10-102 22 2+5+52-1.2-1.【解析解析】(1)(a+b)(1)(a+b)5 5=a=a5 5+5a+5a4 4b+10ab+10a3 3b b2 2+10a+10a2 2b b3 3+5ab+5ab4 4+b+b5 5(2)(2)原式原式=2=25 5+5+52 24 4(-1
34、)+10(-1)+102 23 3(-1)(-1)2 2+10+102 22 2(-1)(-1)3 3+5+52 2(-1)(-1)4 4+(-1)+(-1)5 5=(2-1)=(2-1)5 5=1.=1.7.(20107.(2010威海中考威海中考)(1)(1)探究新知：探究新知：如图，已知如图，已知ADBC,AD=BCADBC,AD=BC，点，点M M，N N是直线是直线CDCD上任意两点上任意两点.求证：求证：ABMABM与与ABNABN的面积相等的面积相等.如图，已知如图，已知ADBE,AD=BE,ABCDADBE,AD=BE,ABCDEF,EF,点点M M是直线是直线CDCD上任一点
35、，点上任一点，点G G是直线是直线EFEF上任一点上任一点.试判断试判断ABMABM与与ABGABG的面的面积是否相等，并说明理由积是否相等，并说明理由.(2)(2)结论应用：结论应用：如图，抛物线如图，抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点为的顶点为C(1,4),C(1,4),交交x x轴于点轴于点A(3,0),A(3,0),交交y y轴于轴于点点D.D.试探究在抛物线试探究在抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c上上是否存在除点是否存在除点C C以外的点以外的点E E，使得，使得ADEADE与与ACDACD的面积相等？若存在，请求出此时点的面积相等？若存在，请求出
36、此时点E E的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.(友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知探究新知”中的结论中的结论.).)【解析解析】(1)(1)分别过点分别过点M,NM,N作作MEABMEAB，NFAB,NFAB,垂足分别为点垂足分别为点E,F.E,F.ADBC,AD=BC,ADBC,AD=BC,四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.ABCD.ME=NF.ABCD.ME=NF.SSABMABM=ABME,S=ABME,SABNABN=ABNF,=ABNF,SSABMABM=S=SABNABN.1212相
37、等相等.理由如下：分别过点理由如下：分别过点D,ED,E作作DHAB,EKAB,DHAB,EKAB,垂足分别垂足分别为为H,K.H,K.则则DHA=EKB=90DHA=EKB=90.ADBE,ADBE,DAH=EBK.DAH=EBK.AD=BE,AD=BE,DAHDAHEBK.EBK.DH=EK,DH=EK,CDABEFCDABEF，S SABMABM=ABDH,=ABDH,S SABGABG=ABEK,S=ABEK,SABMABM=S=SABGABG.1212(2)(2)存在存在.因为抛物线的顶点坐标是因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),C(1,4),所以，可设抛物线的表达式所以，可设抛物线
38、的表达式为为y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+4.+4.又因为抛物线经过点又因为抛物线经过点A(3,0),A(3,0),将其坐标代入上将其坐标代入上式，得式，得0 0a(3-1)a(3-1)2 2+4,+4,解得解得a=-1.a=-1.该抛物线的表达式为该抛物线的表达式为y=-(x-1)y=-(x-1)2 2+4,+4,即即y=-xy=-x2 2+2x+3.+2x+3.DD点坐标为点坐标为(0(0，3).3).设直线设直线ADAD的表达式为的表达式为y=kx+3y=kx+3，代入点，代入点A A的坐标，得的坐标，得0=3k+30=3k+3，解，解得得k=-1.k=-1.直线直线ADAD的
39、表达式为的表达式为y=-x+3.y=-x+3.过过C C点作点作CGxCGx轴，垂足为轴，垂足为G G，交，交ADAD于点于点H H，则，则H H点的纵坐标为点的纵坐标为-1+3-1+32.2.CH=CG-HG=4-2=2.CH=CG-HG=4-2=2.设点设点E E的横坐标为的横坐标为m m，则点则点E E的纵坐标为的纵坐标为-m-m2 2+2m+3.+2m+3.过过E E点作点作EFxEFx轴，垂足为轴，垂足为F F，交，交ADAD于点于点P P，则点，则点P P的纵坐标为的纵坐标为3-m3-m，EFCG.EFCG.由由(1)(1)可知：若可知：若EP=CH,EP=CH,则则ADEADE与
40、与ADCADC的面积相等的面积相等.(a)(a)若若E E点在直线点在直线ADAD的上方的上方(如图如图)，则则PFPF3-m,3-m,EF=-mEF=-m2 2+2m+3.+2m+3.EP=EF-PF=-mEP=EF-PF=-m2 2+2m+3-(3-m)=-m+2m+3-(3-m)=-m2 2+3m.+3m.-m-m2 2+3m=2.+3m=2.解得解得m m1 1=2,m=2,m2 2=1.=1.当当m=2m=2时，时，PF=3-2=1,EF=3.PF=3-2=1,EF=3.EE点坐标为点坐标为(2(2，3).3).同理当同理当m=1m=1时，时，E E点坐标为点坐标为(1(1，4)4)
41、，与，与C C点重合，故舍去点重合，故舍去.(b)(b)若若E E点在直线点在直线ADAD的下方的下方(如图如图)，则则PE=(3-m)-(-mPE=(3-m)-(-m2 2+2m+3)=m+2m+3)=m2 2-3m,-3m,mm2 2-3m=2,-3m=2,解得解得34317317m,m.22当当m=m=时，时，E E点的纵坐标为点的纵坐标为当当m=m=时，时，E E点的纵坐标为点的纵坐标为在抛物线上存在除点在抛物线上存在除点C C以外的点以外的点E E，使得，使得ADEADE与与ACDACD的面的面积相等，积相等，E E点的坐标为点的坐标为E E1 1(2,3);(2,3);31723171173222；317231711732.22 2317117E(,);223317117E(,).22
