1、 二次函数知识点归纳二次函数知识点归纳 知识内容知识内容 1. 二次函数的解析式三种形式二次函数的解析式三种形式 一般式 y=ax2 +bx+c(a0) 顶点式 2 ()ya xhk 2 2 4 () 24 bacb ya x aa 交点式 12 ()()ya xxxx 2. 二次函数图像与性质二次函数图像与性质 1、系数 a，b，c 及的几何意义 a的符号决定抛物线的开口方向、大小；形状；最大值或最小值。 0a开口向上有最小值(最低点的纵坐标)。 0a开口向下最大值(最高点的纵坐标)。 a越大，开口越小； a越小，开口越大。 （描点法可以证明） ab、决定抛物线对称轴 0b对称轴是y轴。 a
2、b、同号对称轴在y轴的左侧 ab、异号对称轴在y轴的右侧 c的符号决定抛物线与y轴交点的位置。 0c 抛物线过原点 0c 抛物线与y轴交于正半轴 0c抛物线与轴y交于负半轴 的符号决定抛物线与x轴的交点个数。 2 40bac抛物线与x轴有两个交点 2 40bac抛物线与x轴只有一个交点 2 40bac抛物线与x轴没有交点 抛物线的特殊位置与系数的关系. 顶点在 x 轴上 0. 顶点在 y 轴上 b0. 顶点在原点 bc0. 抛物线经过原点 c0. y x O 2 、 二 次 函 数 的 对 称 轴 与 顶 点 坐 标 以 及 单 调 性 （ 增 减 性 ） 与 最 值 一 般 式 ： 2 ya
3、 xb xc(0 )abca、 、 是常数，且，其对称轴为直线 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 () 24 bacb aa ， .当0a时，有最小值，且当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最小值 ； 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y随x的增大而增大。 .当0a时，有最大值，且当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最大值 ； 当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增大而减小 顶点式顶点式： 2 ()ya xhk(0)ahka 、 、 是常数，且，其对称轴为直线xh，顶点坐标为()h
4、k， .当0a时，有最小值，且当xh时，yk 最小值 ； 当xh时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大。 .当0a时，有最大值，且当xh时，yk 最大值 ； 当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小 1 x、 2 x，通常选用交点式： 21 xxxxay 对称轴对称轴： 2 b x a 12 2 xx x 顶点坐标顶点坐标： 2 4 (,) 24 bacb aa 与与 y 轴交点坐标轴交点坐标（0，c） 增减性增减性：当 a0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大 当 a0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与
5、 x 轴有两 2 4bac=0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有一个交点； 2 4bac0 时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与 x 轴没有交点 4. 二次函数与一元二次不等式的关系二次函数与一元二次不等式的关系 （1）如图所示，当 a0 时，抛物线 yax 2 bxc 开口向上，它与 x 轴有两个交点（x1，0） ， （x2，0）. x x1，xx2是方程 ax 2 bxc0 的解。xx1，或 xx2是不等式 ax 2 bxc0 的解集. x1xx2，是 不等式 ax 2 bxc0 的解集. （2）当 a0 时，抛物线 yax 2 bxc 开口向下，它与 x 轴有两个交点（x1，0） ， （x2，0）. xx1，x x 2是方程 ax 2 bxc0 的解. x1xx2是不等式 ax 2 bxc0 的解集. xx1， 或 xx2是不等式 ax 2 bxc0 的解集.
