1、第3章1 知识网络 系统盘点，提炼主干2 要点归纳 整合要点，诠释疑点3 题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.空间向量(1)空间向量的知识脉络：向量的概念向量的运算基本定理直角坐标系向量的坐标运算应用.(2)空间向量的概念：定义：具有大小和方向的量称为向量；向量相等：长度相等且方向相同.(3)空间向量的运算：加法法则：平行四边形法则，三角形法则；减法法则：三角形法则；向量的数量积：ab|a|b|cos(为a与b的夹角).(4)空间向量的坐标运算：若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则加减法：ab(x1x2，y1y2，z1z2)；实数与向量积：a(x1，y1，z1)；数量积
2、：abx1x2y1y2z1z2；(5)空间向量的夹角及其表示：(6)空间向量平行、垂直的条件：两向量垂直：abab0；两向量平行：abba(a为非零向量).(7)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组x、y、z，使pxaybzc.(8)空间共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的一对实数x、y，使cxayb.2.平面的法向量若向量 a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a，那么向量a叫做平面的法向量.3.用空间向量处理立体几何问题的常用方法(1)证明空间的平行证明直线与平面平行
3、，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行.证明直线和平面平行，也可以使用下面的定理：图 图 图(2)证明空间的垂直证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直.(3)求空间的角立体几何中的角的计算，均可转化为两个向量的夹角的计算：平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对值等于该斜线与平面所成角的正弦，由此可求斜线与平面所成的角.如图，设n1，n2分别是二面角l中平面，的法向量，则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角.(4)求空间的距离
4、两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到平面的距离；利用法向量可求点到平面的距离：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面的距离为 .题型一空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算.空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致.主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础.则f1a，f22b，f33c，则ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012cos 601423625
5、，|f|5，即所求合力的大小为5.其余三个都不正确，故正确结论的序号是.答案题型二利用空间向量证明空间中的位置关系向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.例2正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.证明如图，建立空间直角坐标系D-xyz.设正方体棱长为1，设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，令y11，得m(0,1，2).令z21
6、，得n(0,2,1).mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.跟踪演练2如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.求证：(1)BC1AB1；(2)BC1平面CA1D.证明如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设ACBCBB12，则A(2，0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2，0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2).(2)取A1C的中点E，连结DE，由于E(1,0,1)，所以EDBC1，又DE平面CA1D，BC1 平面
7、CA1D，故BC1平面CA1D.题型三利用空间向量求空间角1.求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为n1，n2或n1，n2，cos|cosn1，n2|.2.求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为，则sin|cosn1，n2|.3.求二面角的大小如图，设平面、的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面、所成的锐二面角，所以cos|cosn1，n2|.例3如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1
8、的距离；解由ACBC，D为AB的中点，得CDAB，又CDAA1，AA1ABA，故CD面A1ABB1，(2)若AB1A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.解如图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，设平面C1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，取x21,得n(1,0,0),跟踪演练3如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，ACBC，且ACBC.(1)求证：AM平面EB
9、C；证明四边形ACDE是正方形，EAAC，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设EAACBC2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2).M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1,1).又ECCBC，AM平面EBC.(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；解AM平面EBC，直线AB与平面EBC所成的角为30.(3)求二面角AEBC的大小.解设平面EAB的法向量为n(x，y，z)，取y1，x1.n(1，1,0).设二面角AEBC的平面角为，
10、由图可知为锐角，二面角AEBC等于60.课堂小结空间向量的引入为空间几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题解决的过程之中，成为高考必考的热点之一.1.高考对本章的考查重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空间中的线线角、线面角以及二面角的求解；空间中简单的点点距和点面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有体现.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间向量的基本概念和运算.2.空间向量的引入为解决空间几何问题提供了一种新的思路，它使空
11、间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度，成为高考必考的热点.考查的重点是结合空间几何体的结构特征考查空间角与距离的求解，其中二面角是历年高考命题的热点，多为解答题.3.对利用向量处理平行和垂直问题的考查，主要解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题.对于垂直，主要利用abab0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.二是对利用向量处理角度问题的考查，利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cos 进行计算.
