1、阶段总结热考题型强化课(五)解析几何【网络构建网络构建】【核心要素核心要素】1.1.直线的倾斜角、斜率直线的倾斜角、斜率,直线方程的几种形式直线方程的几种形式2.2.圆的标准方程、一般方程圆的标准方程、一般方程3.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系:相交、相切、相离相交、相切、相离4.4.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系:外离、外切、相交、内切、内含外离、外切、相交、内切、内含5.5.圆锥曲线的定义、标准方程圆锥曲线的定义、标准方程6.6.圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质7.7.直线与圆锥曲线的位置关系、弦长直线与圆锥曲线的位置关系、弦长 热考题型一热考题型一直线与圆的位置关系问题直
2、线与圆的位置关系问题【考情分析考情分析】难度难度:基础题基础题题型题型:以选择题、填空题以选择题、填空题为主为主考查方式考查方式:以直线与圆的位置关系为主以直线与圆的位置关系为主要考查对象要考查对象,常与函数、不等式、弦长常与函数、不等式、弦长知识交汇命题知识交汇命题【考题集训考题集训】1.(20151.(2015广东高考广东高考)平行于直线平行于直线2x+y+1=02x+y+1=0且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=5=5相切的直线的方程是相切的直线的方程是()A.2x-y+=0A.2x-y+=0或或2x-y-=02x-y-=0B.2x+y+=0B.2x+y+=0或或2x+y-=02x+
3、y-=0C.2x-y+5=0C.2x-y+5=0或或2x-y-5=02x-y-5=0D.2x+y+5=0D.2x+y+5=0或或2x+y-5=02x+y-5=05555【解析解析】选选D.D.设所求切线方程为设所求切线方程为2x+y+c=0,2x+y+c=0,依题有依题有 解得解得c=c=5,5,所以所求的直线方程为所以所求的直线方程为2x+y+5=02x+y+5=0或或2x+y-5=0.2x+y-5=0.22|0 0 c|521，2.(20152.(2015重庆高考重庆高考)已知直线已知直线l:x+ay-1=0(aR):x+ay-1=0(aR)是圆是圆C:xC:x2 2+y+y2 2-4x-
4、2y+1=0-4x-2y+1=0的对称轴的对称轴.过点过点A(-4,a)A(-4,a)作圆作圆C C的一的一条切线条切线,切点为切点为B,B,则则|AB|=|AB|=()A.2 B.4 A.2 B.4 C.6 C.6 D.2 D.2210【解析解析】选选C.C.圆的标准方程为圆的标准方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4,=4,圆心圆心为为C(2,1),C(2,1),半径为半径为r=2,r=2,因为直线因为直线l为圆的对称轴为圆的对称轴,所以直线经过圆心所以直线经过圆心C(2,1),C(2,1),即即2+a-1=0,2+a-1=0,所以所以a=-1,a=-1,A(-
5、4,-1),A(-4,-1),所以所以又因为又因为ABAB为圆的切线为圆的切线,所以所以22|AC|4 21 12 10.22|AB|AC|r40 46.3.(20153.(2015山东高考山东高考)过点过点P(1,)P(1,)作圆作圆x x2 2+y+y2 2=1=1的两条的两条切线切线,切点分别为切点分别为A,B,A,B,则则 =.3PAPB 【解析解析】圆心为圆心为O(0,0),O(0,0),则则 则则APB=,APB=,所以所以答案答案:|PO|2|PA|PB|3,OPA ，OPB6，3PAPB|PA|PB|cos APB 33 3 cos.3232热考题型二热考题型二圆锥曲线的定义与
6、简单几何性质圆锥曲线的定义与简单几何性质【考情分析考情分析】难度难度:低、中低、中档档题型题型:以选择题、填空题为以选择题、填空题为主主考查方式考查方式:涉及三种圆锥曲线的定义及简涉及三种圆锥曲线的定义及简单几何性质单几何性质,常与最值、标准方程、长度常与最值、标准方程、长度等知识综合在一起考查等知识综合在一起考查【考题集训考题集训】1.(20151.(2015浙江高考浙江高考)双曲线双曲线 -y-y2 2=1=1的焦距是的焦距是,渐近线方程是渐近线方程是.2x2【解析解析】由题意得由题意得:所以焦距为所以焦距为2c=2 ,2c=2 ,渐近线方程为渐近线方程为y=y=答案答案:2 2 y=y=
7、22a2 b 1 cab2 13，3b2xx.a22x232.(20152.(2015上海高考上海高考)抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的动点上的动点Q Q到到焦点的距离的最小值为焦点的距离的最小值为1,1,则则p=p=.【解析解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离线的距离,因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离到准线的距离,即即 =1,p=2.=1,p=2.答案答案:2 2p23.(20153.(2015北京高考北京高考)已知双曲线已知双曲线 -y-y2 2=1(a
8、0)=1(a0)的一条的一条渐近线为渐近线为 x+y=0,x+y=0,则则a=a=.【解析解析】双曲线的焦点在双曲线的焦点在x x轴上轴上,所以渐近线方程为所以渐近线方程为y=y=x.x.所以所以 即即a=.a=.答案答案:22xa31a13a，3333热考题型三热考题型三以一种圆锥曲线为载体的几何性质的应以一种圆锥曲线为载体的几何性质的应用用【考情分析考情分析】难度难度:中档中档题型题型:以选择题、填空题为以选择题、填空题为主主考查方式考查方式:涉及三种圆锥曲线的几何性涉及三种圆锥曲线的几何性质质,常与离心率、对称轴、渐近线等知常与离心率、对称轴、渐近线等知识综合在一起考查识综合在一起考查【
9、考题集训考题集训】1.(20151.(2015重庆高考重庆高考)双曲线双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的右的右焦点为焦点为F,F,左、右顶点为左、右顶点为A A1 1,A,A2 2,过过F F作作A A1 1A A2 2的垂线与双曲的垂线与双曲线交于线交于B,CB,C两点两点,若若A A1 1BABA2 2C,C,则该双曲线的渐近线斜率则该双曲线的渐近线斜率为为()2222xyab12A.B.C.1 D.222【解题提示解题提示】解答本题的关键在于求出点解答本题的关键在于求出点A A1 1,A,A2 2,B,C,B,C的的坐标坐标,利用向量利用向量 与与 的数量积为零即可计算的数量
10、积为零即可计算.1AB 2A C【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知F(c,0),AF(c,0),A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0),(a,0),其其中中c=c=联立联立 可解得可解得所以所以22ab.2222x c,xy1,ab22bbB(c,),C(c,),aa2212bbAB(c a,),AC(c a,)aa ，又因为又因为A A1 1BABA2 2C,C,所以所以 =0,=0,解得解得a=b,a=b,所以该双曲线的渐近线斜率为所以该双曲线的渐近线斜率为1.1.4122bABACc a c aa 2.(20152.(2015山东高考山东高考)过双曲线过双曲线C:
11、=1(a0,b0)C:=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交交C C于点于点P,P,若若点点P P的横坐标为的横坐标为2a,2a,则则C C的离心率为的离心率为.2222xyab【解析解析】将将y=(x-c)y=(x-c)代入代入 =1=1消去消去y y得得 =1,=1,因为因为x xP P=2ac,=2ac,所以所以 =1,=1,化简得化简得3a3a2 2=(2a-c)=(2a-c)2 2,即即 a=c-2a,a=c-2a,所以所以e=2+.e=2+.答案答案:2+2+ba2222xyab22222b()x cxaab 22222b()2a
12、 c2aaab3333.(20143.(2014江西高考江西高考)设椭圆设椭圆C:=1(aC:=1(ab b0)0)的的左右焦点为左右焦点为F F1 1,F,F2 2,过过F F2 2作作x x轴的垂线与轴的垂线与C C相交于相交于A,BA,B两点两点,F F1 1B B与与y y轴相交于点轴相交于点D,D,若若ADFADF1 1B,B,则椭圆则椭圆C C的离心率等于的离心率等于.2222xyab【解析解析】不妨令不妨令所以直线所以直线F F1 1B B的方程为的方程为y=(x+c),y=(x+c),令令x=0 x=0可得可得y=y=即即221bbA(c,)B(c,)F(c,0)aa，2b2a
13、c2b2a，2221b3bbD(0,)AD(c,)FB(2c,)2a2aa ，因为因为ADFADF1 1B,B,所以所以-2c-2c2 2+=0,+=0,整理得整理得 b b2 2=2ac,=2ac,故故 a a2 2-c-c2 2=2ac,=2ac,即即 e e2 2+2e-=0,+2e-=0,解得解得e=(e=(负值舍去负值舍去).).答案答案:423b2a333333333热考题型四热考题型四以两种圆锥曲线为载体的几何性质的应以两种圆锥曲线为载体的几何性质的应用用【考情分析考情分析】难度难度:低、中低、中档档题型题型:以选择题、填空题以选择题、填空题为主为主考查方式考查方式:常以两个圆锥
14、曲线为载体常以两个圆锥曲线为载体,考考查圆锥曲线的几何性质查圆锥曲线的几何性质,考查学生分析问考查学生分析问题、解决问题的能力题、解决问题的能力【考题集训考题集训】1.(20141.(2014广东高考广东高考)若实数若实数k k满足满足0k5,0k5,则曲线则曲线 =1=1与曲线与曲线 =1=1的的()A.A.实半轴长相等实半轴长相等 B.B.虚半轴长相等虚半轴长相等C.C.离心率相等离心率相等 D.D.焦距相等焦距相等22xy165 k22xy16 k5【解析解析】选选D.D.因为因为0k5,0k0)m(m0)个单位长度个单位长度,得到离心率为得到离心率为e e2 2的双曲线的双曲线C C2
15、 2,则则()A.A.对任意的对任意的a,b,ea,b,e1 1ee2 2B.B.当当abab时时,e,e1 1ee2 2;当当abab时时,e,e1 1ee2 2C.C.对任意的对任意的a,b,ea,b,e1 1ebab时时,e,e1 1ee2 2;当当abaee2 2【解析解析】选选D.D.不妨设双曲线不妨设双曲线C C1 1的焦点在的焦点在x x轴上轴上,即其方即其方程为程为:=1,:=1,则双曲线则双曲线C C2 2的方程为的方程为:=1,:=1,所以所以e e1 1=e e2 2=2222xyab2222xya mb m2222abb1,aa2222a mb mb m1,a ma m
16、当当abab时时,所以所以 所以所以所以所以e e2 2ee1 1;b m a b a ma b mb m b0,a m aa m aa m ab mb,a ma22b mb()(),a ma当当abab时时,所以所以所以所以所以所以e e2 2e0,b0),=1(a0,b0),所以所以a=b=2,a=b=2,所以所以C C2 2的方程为的方程为 =1.=1.答案答案:=1 =12x4122222xyab22xy 4422xy 444.(20154.(2015山东高考山东高考)平面直角坐标系平面直角坐标系xOyxOy中中,双曲线双曲线C C1 1:=1(a0,b0)=1(a0,b0)的渐近线与
17、抛物线的渐近线与抛物线C C2 2:x:x2 2=2py(p0)=2py(p0)交于点交于点O,A,B,O,A,B,若若OABOAB的垂心为的垂心为C C2 2的焦点的焦点,则则C C1 1的离心的离心率为率为.2222xyab【解析解析】由对称性知由对称性知OABOAB是以是以ABAB为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形,注意到双曲线的渐近线方程为注意到双曲线的渐近线方程为y=y=x,x,抛物线的焦点抛物线的焦点 设点设点 则则m m2 2=2p=2p m,m,由由OABOAB的垂心为的垂心为F,F,得得k kBFBFk kOAOA=-1,=-1,=-1,=-1,消去消去m m得得 =2p,
18、=2p,即即 所以所以 故故e=e=答案答案:bapF(0,)2，bbA(m,m),B(m,m)aa，babpmba2mab 2pbpaa222b5a4，22c9a4，c3.a232热考题型五热考题型五范围、最值、定值问题范围、最值、定值问题【考情分析考情分析】难度难度:中、中、高档高档题型题型:选择题、填空题、解答选择题、填空题、解答题均可能出现题均可能出现考查方式考查方式:常以直线、圆、圆锥曲线为载体常以直线、圆、圆锥曲线为载体,考查直线方程、圆的几何性质、圆锥曲线考查直线方程、圆的几何性质、圆锥曲线的几何性质以及学生分析问题、解决问题的几何性质以及学生分析问题、解决问题的能力的能力【考题
19、集训考题集训】1.(20141.(2014福建高考福建高考)设设P,QP,Q分别为圆分别为圆x x2 2+(y-6)+(y-6)2 2=2=2和椭和椭圆圆 +y+y2 2=1=1上的点上的点,则则P,QP,Q两点间的最大距离是两点间的最大距离是()2x10A.5 2 B.462 C.72 D.6 2【解析解析】选选D.D.圆心圆心M(0,6),M(0,6),设椭圆上的点为设椭圆上的点为Q(x,y),Q(x,y),则则当当y=-1,1y=-1,1时时,所以所以22222|MQ|xy 610 10yy 69y12y 46，23max|MQ|5 2max|PQ|5 226 22.(20142.(20
20、14四川高考四川高考)已知已知F F为抛物线为抛物线y y2 2=x=x的焦点的焦点,点点A,BA,B在该抛物线上且位于在该抛物线上且位于x x轴的两侧轴的两侧,=2(,=2(其中其中O O为坐为坐标原点标原点),),则则ABOABO与与AFOAFO面积之和的最小值是面积之和的最小值是()OAOB 17 2A.2 B.3 C.D.108【解析解析】选选B.B.可设直线可设直线ABAB的方程为的方程为:x=ty+m,:x=ty+m,点点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则直线则直线ABAB与与x x轴的交点轴的交点M(m,0),M(m,0),由由 y
21、 y2 2-ty-m=0,-ty-m=0,所以所以y y1 1y y2 2=-m,=-m,又又 =2=2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=2=2(y(y1 1y y2 2)2 2+y+y1 1y y2 2-2=0,-2=0,2x ty myx，OAOB 因为点因为点A,BA,B在该抛物线上且位于在该抛物线上且位于x x轴的两侧轴的两侧,所以所以y y1 1y y2 2=-2,=-2,故故m=2,m=2,又又于是于是S SABOABO+S+SAFOAFO=1F(,0)4，12111111 1212|yy|y|y|y|22 4y8 11119292|y|2|y|38|y|8|y|
22、，当且仅当当且仅当 即即y y1 1=时取时取“=”,所以所以ABOABO与与AFOAFO面积之和的最小值是面积之和的最小值是3.3.1192y8y，433.(20153.(2015重庆高考重庆高考)设双曲线设双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的的右焦点为右焦点为F,F,右顶点为右顶点为A,A,过过F F作作AFAF的垂线与双曲线交于的垂线与双曲线交于B,B,C C两点两点,过过B,CB,C分别作分别作AC,ABAC,AB的垂线的垂线,两垂线交于点两垂线交于点D,D,若若D D到直线到直线BCBC的距离小于的距离小于a+,a+,则该双曲线的渐近线则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是斜率
23、的取值范围是()2222xyab22abA.(-1,0)(0,1)A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1B.(-,-1)(1,+)(1,+)C.(-,0C.(-,0)(0,)(0,)D.(-,-D.(-,-)(,+)(,+)2222【解析解析】选选A.A.由题意知由题意知F(c,0),A(a,0),F(c,0),A(a,0),其中其中c=c=联立联立 可解得可解得22ab,2222x c,xy1,ab22bbB(c,),C(c,).aa22ACABbbc ac aaak,k,c aac aa所以所以ACAC的垂线的垂线BDBD的斜率为的斜率为k kBDBD=直线方程为直线方程为y-y-ABA
24、B的垂线的垂线CDCD的斜率为的斜率为k kCDCD=-=-直线方程为直线方程为y+=y+=联立联立ac a，ax c,c a2baac a，2baax c,c a22bayx c,ac abayx c,ac a解得解得 到直线到直线BC:x=cBC:x=c的距离的距离 =a+c,=a+c,解得解得ba,ba,所以所以0 1,0 b0)=1(ab0)的离心率为的离心率为 ,且点且点 在椭圆在椭圆C C上上.2222xyab321(3,)2(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程.(2)(2)设椭圆设椭圆E:=1,PE:=1,P为椭圆为椭圆C C上任意一点上任意一点,过点过点P P的直线的直线
25、y=kx+my=kx+m交椭圆交椭圆E E于于A,BA,B两点两点,射线射线POPO交椭圆交椭圆E E于点于点Q.Q.求求 的值的值;求求ABQABQ面积的最大值面积的最大值.OQOP2222xy4a4b【解析解析】(1)(1)因为点因为点 在椭圆在椭圆C C上上,所以所以 =1.=1.又因为椭圆又因为椭圆C C的离心率为的离心率为e=e=所以所以2c=a,4c2c=a,4c2 2=3a=3a2 2,结合结合c c2 2=a=a2 2-b-b2 2可解得可解得a a2 2=4,b=4,b2 2=1,=1,即椭圆即椭圆C C的方程为的方程为 +y+y2 2=1.=1.1(3,)22231a4bc
26、3a2，32x4(2)(2)椭圆椭圆E:=1.E:=1.设设P(xP(x0 0,y,y0 0)是椭圆是椭圆C C上任意一点上任意一点,则则 =4.=4.直线直线OP:y=OP:y=与椭圆与椭圆E:=1E:=1联立联立消消y y得得所以所以Q(-2xQ(-2x0 0,-2y,-2y0 0).).即即 =2.=2.22xy1642200 x4y00yxx22xy164222220002220004y16xx(1 )16,x4xxx4y，|OQ|OP|因为点因为点P(xP(x0 0,y,y0 0)在直线在直线y=kx+my=kx+m上上,所以所以y y0 0=kx=kx0 0+m,+m,点点Q(-2
27、xQ(-2x0 0,-2y,-2y0 0)到直线到直线y=kx+my=kx+m的距离为的距离为d=d=将将y=kx+my=kx+m与与 =1=1联立消联立消y y得得(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-16=0,16=0,由由00可得可得m m2 24+16k4+16k2 2.()()0022|2kx2ym|3m|.1 k1 k22xy164设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2=x=x1 1x x2 2=所以所以直线直线y=kx+my=kx+m与与y y轴交点为轴交点为(0
28、,m),(0,m),28km,1 4k224m161 4k，221224 16k4 m|xx|.1 4k 所以所以OABOAB面积面积S SOABOAB=令令 =t,=t,则则S SOABOAB=121m|xx|222222222m 16k4 m1 4k2 16k4 m m1 4k ，2222mm2(4)24 t t.1 4k1 4k22m1 4k将将y=kx+my=kx+m与与 +y+y2 2=1=1联立消联立消y y得得(1+4k(1+4k2 2)x)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-4=0,4=0,由由00可得可得m m2 21+4k1+4k2 2.()()由由()()()()可知可知0t1,0t1,因此因此S SOABOAB=(=(当当且仅当且仅当t=1t=1即即m m2 2=1+4k=1+4k2 2时取得最大值时取得最大值),),注意到注意到S SABQABQ=3S3SOABOAB,所以所以S SABQABQ=3S=3SOABOAB6 .6 .即即ABQABQ的面积的最的面积的最大值为大值为6 .6 .2x424 t t2 333
