1、2.2 2.2 基本不等式（基本不等式（1 1）我们知道乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.重要不等式是什么？如何得出的？利用完全平方公式得出了重要不等式.特别地，如果a0，b0，我们用 ，分别代替上式中的a，b，可得：（1）一般地，.2,22时，等号成立当且仅当，有baabbaRba重要不等式 ab当且仅当a=b时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式.其中，叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.ab2ba基本不等式表明：两个正数的数平均数不小于它们的几何平均数.能否利
2、用不等式的性质推导出基本不等式呢？要证 ，2baab只要证 .2baab要证，只要证 .02baab要证，只要证 .0)(2ba要证，只要证 .0)(2ba显然，成立，当且仅当a=b时，中的等号成立.在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？探究图2.2-1如图2.2-1，可证ACDDCB，因而CD=.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.ab.2baab例1 已知 的最小值.xxx1,0求分析：求 的最小
3、值，就是要求一个 观察 发现 联系基本不等式，可以利用正数 的算术平均数与几何平均数的关系得到xx1.1,0)1(0000yxxxxxy都有，使,1xx.11.xxxx1和.20y解：因为x0，所以,21.21xxxx当且仅当 时，等号成立，因此所求的最小值为2.1,1,12xxxx即例2 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值证明：因为x，y都是正数，所以（1）当积xy等于定值P时，所以，;2 P.412S.2xyyx,2Pyx,Pyx当且仅当x=y时，上式等号成立.于是当x=y时，和
4、x+y有最小值.2 P（2）当和x+y等于定值S时，所以，,2Sxy,412Sxy 当且仅当x=y时，上式等号成立.于是当x=y时，积xy有最大值.412S结论（积定和最小，和定积最大）基本不等式求最值时成立的三个条件：一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等能取得等号.总结：几个重要不等式.),(2.1时，等号成立，当且仅当同号bababaab.2,.222时，等号成立，当且仅当时，当baabbaRba.30,0,0.3333时，等号成立，当且仅当时，当cbaabccbacba证明：22333333333abbaabccbaabccba）（)(3)(22cbaabccbabacba）（）（)
5、(222bcacabcbacba222)()()()(21accbbacbaabccba3333)(0时，等号成立当且仅当cba总结：几个重要不等式.,30,0,0.43时，等号成立当且仅当时，当cbaabccbacba.,112220,0.522时，等号成立当且仅当时，当bababababa练习.2,.12）（，求证已知baabRba，求证：都是正数，且已知yxyx,.2,04)(4222222baababbaabba）（证明：2222）（，即）（baababba证明：;21xyyx）（.2)2(xyyxxy证明：.2.200 xyyxxyyxyxyx，.2122，显然成立yxxyyxxyxyyxxy练习解：3.当x取什么值时，取得最小值？最小值是多少？221xx，等号成立，即当且仅当11,21.21222222xxxxxxx.21122取得最小值，最小值为时，xxx.111.42的最大值，求已知xx.1011,10,1122的最大值为xxx解：5.已知直角三角形的面积等于50c，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？解：设两条直角边的长分别为x，y，当且仅当x=y=10时，等号成立，即当两条直角边的长度各为10cm时，两条直角边的和最小,最小值为20cm.100,5021xyxyS则.2010022xyyx小结作业习题2.2 第1题、第2题
