1、 1.1.2 1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系1集合集合在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。内容包括：集合的概念与表示、集合的基本关系、集合的基本运算。（1）集合的概念与表示）集合的概念与表示通过实例，了解集合的含义，理解元
2、素与集合的通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于属于”关系。关系。针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。集合。在具体情境中，了解全集与空集的含义。在具体情境中，了解全集与空集的含义。（2）集合的基本关系）集合的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。（3）集合的基本运算）集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。理解在给定集合中一个子集
3、的补集的含义，能求给定子集的补集。理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。能使用能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。概念的作用。1.内容内容 集合之间的包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的集合之间的包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的Venn图表示。图表示。2.内容分析内容分析本节类比实数，发现和提出本节类比实数，发现和提出“集合是否像实数一样具有相等关系、大集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系小关系”的问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关的
4、问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关系。系。包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合之间的关系。也就是说，当我们判断集合间关合之间的关系定义集合之间的关系。也就是说，当我们判断集合间关系时，其实是回归到了元素与集合的关系。明确了这一点，对于辨析系时，其实是回归到了元素与集合的关系。明确了这一点，对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的。如属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的。如“”就是就是“对于任意对于任意 ”。符号化是数学的重要特征。在集合的学习中，需
5、要建立符号表示和数符号化是数学的重要特征。在集合的学习中，需要建立符号表示和数学意义之间的联系，学意义之间的联系，Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具。通过各种问题，建立自然语言、符号语言和算的直观且有效的工具。通过各种问题，建立自然语言、符号语言和图形语言（图形语言（Venn图）之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提图）之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提升学生数学抽象素养。升学生数学抽象素养。结合以上分析，确定本节课的教学重点：集合间包含与相等的含义。结合以上分析，确定本节课的教学重点：集合间包含与相等的含义。二
6、、学习目标二、学习目标（1）理解集合之间的包含与相等的含义；）理解集合之间的包含与相等的含义；（2）能识别给定集合的子集，了解空集含义；）能识别给定集合的子集，了解空集含义；（3）能进行自然语言、图形语言（）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养。升数学抽象素养。三、学情分析三、学情分析学生在义务教育阶段数学学习中，已经接触过集合，对于数集、点集等学生在义务教育阶段数学学习中，已经接触过集合，对于数集、点集等有了一定的感性认识。从初中到高中，从直观到抽象，了解集合的含义及有了一定的感性认识。从初中到高中，从直观到抽象，了解集合的含义
7、及其性质，并不困难。难点在于两种关系的识别其性质，并不困难。难点在于两种关系的识别元素与集合、集合与集合，元素与集合、集合与集合，特别是符号语言的表述，提升了这部分内容学习的抽象度，特别是符号语言的表述，提升了这部分内容学习的抽象度，此外，对于空集这个特殊的集合，由于其本质特征此外，对于空集这个特殊的集合，由于其本质特征“不含任何元素不含任何元素”无法用列举法或描述法直观地表达出来，所以用一个单独的符号无法用列举法或描述法直观地表达出来，所以用一个单独的符号“”来标来标记。看不见、摸不着，这也是让学生感到困难的原因。另外，空集也容易记。看不见、摸不着，这也是让学生感到困难的原因。另外，空集也容
8、易和一些集合混淆，比如集合和一些集合混淆，比如集合“0”，“0”是含有一个元素的集合，集是含有一个元素的集合，集合中的元素是合中的元素是“0”，而，而 是不含任何元素的，因此是不含任何元素的，因此 与与0之间的关系是之间的关系是 0。本节课的教学难点是集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解。本节课的教学难点是集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解。实数有大小关系实数有大小关系 如：如：53实数有相等关系实数有相等关系 如：如：5=5 集合与集合集合与集合之间呢？之间呢？【引一引引一引温故知新温故知新】【想一想想一想得出新知得出新知】观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：观察以下几组
9、集合，并指出它们元素间的关系：A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;设设A为某校高一为某校高一(2)班班全体女生全体女生组成的集合，组成的集合，B为这个为这个班班全体学生全体学生组成的集合组成的集合 A=x|x是两边相等的三角形是两边相等的三角形,B=x|x是等腰三角形是等腰三角形 一般地，对于两个集合一般地，对于两个集合A、B，如果集合，如果集合A中中任任意意一个元素都是集合一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合集合有包含关系，称集合A为集合为集合B的的子集子集.记作：记作：(BA)AB 或或读作：读作：“A含于含于B”(或或“B包含包含A
10、”)1.1.子集子集【说一说说一说本节新知本节新知】VennVenn图表示集合的包含关系图表示集合的包含关系BABA 在数学中，我们经常用平面上封闭的曲在数学中，我们经常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，这种图称为线的内部表示集合，这种图称为Venn图图.【说一说说一说本节新知本节新知】【想一想想一想得出新知得出新知】观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：A=1,3,5,7,9,B=9,7,5,3,1 A=a,b,c,d,B=b,c,d,a;A=x|x是两边相等的三角形是两边相等的三角形,B=x|x是等腰三角形是等腰三角形 2.2.集合相等集合相等
11、AB 如如果果集集合合A A是是集集合合B B的的子子集集(即即A AB B)，且且集集合合B B是是集集合合 A A的的子子集集(即即B BA A),此此时时集集合合A A与与集集合合B B中中的的元元素素是是一一样样的的，我我们们称称集集合合A A与与集集合合B B相相等等.记记作作：.【说一说说一说本节新知本节新知】【想一想想一想得出新知得出新知】观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;A=-1,0,1,B=-1,0,1,2 A=a,c,d,B=a,b,c,d3.3.真子集真子集B,A(B).AxBxAA
12、BBA 如如果果集集合合但但存存在在元元素素且且我我们们称称集集合合 是是集集合合 的的真真子子集集.记记作作：或或读作：读作：“A真含于真含于B”（或（或“B真包含真包含A”)【说一说说一说本节新知本节新知】4.4.子集的有关性质子集的有关性质(1).AA 任任何何一一个个集集合合是是它它本本身身的的子子集集，即即.CCC).2(ABBABA那么那么且且，如果，如果、对于集合对于集合(3).CC.ABABBAC 对对于于集集合合、，如如果果且且那那么么(4).CC.ABABBAC 对对于于集集合合、，如如果果且且那那么么(5).CC.ABABBAC 对对于于集集合合、，如如果果且且那那么么(
13、6).CC.ABABBAC对对于于集集合合、，如如果果且且那那么么【说一说说一说本节新知本节新知】5.5.空集空集.不不含含任任何何元元素素的的集集合合叫叫做做空空集集，记记为为A.规规定定：空空集集是是任任何何集集合合的的子子集集，即即.(.)BB 空空集集是是任任何何非非空空集集合合的的真真子子集集即即：【说一说说一说本节新知本节新知】【议一议议一议深化概念深化概念】3.0,0,与与四四者者之之间间有有什什么么关关系系？1.aaAA 包包含含关关系系与与属属于于关关系系有有什什么么区区别别？2.ABAB 集集合合与与集集合合有有什什么么区区别别？【听一听听一听更上一层更上一层】1.,.a
14、b 例例 写写出出集集合合的的所所有有子子集集，并并指指出出哪哪些些是是它它的的真真子子集集的所有子集为：的所有子集为：集合集合解解,:ba,ab真真子子，集集为为：,aba b，【听一听听一听更上一层更上一层】,.a b c写写出出集集合合，的的所所有有子子集集，并并指指出出它它的的真真子子集集:解解,a b c集集合合的的所所有有子子集集为为：变式变式没没有有元元素素的的子子集集：:1有有元元素素的的子子集集个个:2有有元元素素的的子子集集个个:3有有元元素素的的子子集集个个,.abca ba cb ca b c，;,;abc,;a ba cb c,.a b c的的所所有有真真子子集集为为
15、：集集合合,cba,.abca ba cb c，【听一听听一听更上一层更上一层】含含n个元素的集合的所有个元素的集合的所有子集的个数子集的个数是是2n，所有所有真子集的个数真子集的个数是是2n-1，非空真子集非空真子集数数为为2n-2.题型1集合的子集、真子集问题例1(1)满足a，b M a，b，c，d，e的集合M的个数为()A6 B7C8 D9(2)已知集合A(x，y)|xy2，x，yN N，试写出A的所有子集 答案：(1)A(2)，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(2，0)解析：(1)根据题
16、意，满足a，bM a，b，c，d，e的集合M有：a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e共6个(2)因为A(x，y)|xy2，x，yN N，所以A(0，2)，(1，1)，(2，0)所以A的子集有：，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(2，0)方法归纳1假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n1)个；(3)A的真子集有(2n1)个；(4)A的非空真子集有(2n2)个2求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个
17、数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身跟踪训练1(1)若集合AxZ Z|1x2，则A的真子集个数为()A1 B2C3 D4(2)写出满足3，4 P0，1，2，3，4的所有集合P.答案：(1)C(2)0，3，4，1，3，4，2，3，4，0，1，3，4，0，2，3，4，1，2，3，4，0，1，2，3，4解析：(1)集合AxZ Z|1x20，1，集合AxZ Z|1x2的真子集为，0，1，所以A的真子集个数为3.故选C.(2)由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：0，3，4，1，3，4，2，3，4，0，1，3，
18、4，0，2，3，4，1，2，3，4，0，1，2，3，4题型2集合间关系的判断例2指出下列各组集合之间的关系：(1)Ax|1x5，Bx|0 x5；(2)Ax|x2n，nZ Z，Bx|x4n，nZ Z；(3)A(x，y)|xy0，B(x，y)|x0，y0或x0，y0(4)Ax|x1a2，aN N*，Bx|xa24a5，aN N*解析：(1)将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示 B A.(2)A是偶数集，B是4的倍数集，B A.(3)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素，也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，故AB.(4)对于任意xA，有x1a2(a2)24(a2)
19、5aN N*，a2N N*.xB.由子集的定义知AB.设1B，此时a24a51，解得a2N N*，1a21在aN N*时无解，1A.综上所述，A B.方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍跟踪训练2(1)若集合Mx|x210，T1，0，1，则M与T的关系是()AM T BM TCMT
20、D.MT(2)设M菱形，N平行四边形，P四边形，Q正方形，则这些集合之间的关系为()APNMQ BQMNPCPMNQ DQNMP答案：(1)A(2)B解析：(1)Mx|x2101，1，T1，0，1，M T.(2)有一个角是直角的菱形是正方形正方形应是菱形的一部分，正方形、菱形都属于平行四边形，它们之间的关系是：QMNP.题型3根据集合间关系求参数(取值范围)例3已知集合Ax|1ax2，Bx|1x1，求满足AB的实数a的取值范围方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，
21、一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的跟踪训练3已知集合Ax|1x3，集合Bx|2mx1m若AB，求实数m的取值范围 易错辨析忽略空集的特殊性致误例4设Mx|x22x30，Nx|ax10，若NM，求所有满足条件的a的取值集合 易错警示易错原因纠错心得忽略了N这种情况空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课堂十分钟课堂十分钟 1集合A1，0，1，在A的子集中，含有元素0的子集共有()A2个 B4个C6个 D8个答案：B2(多选)下列说法
22、正确的是()A.0 B.0C.若aN N，则a N N D.Q Q答案：BD3已知集合Ax|axx2，B0，1，2，若AB，则实数a的值为()A1或2 B0或1C0或2 D0或1或2答案：D4设集合AxR R|x2x10，BxR R|x2x10，则集合A，B之间的关系是_B A5已知集合Ax|1x2，Bx|1xa，a1(1)若A B，求a的取值范围(2)若BA，求a的取值范围解析：(1)若A B，由图可知，a2.(2)若BA，由图可知，1a2.课堂十分钟课堂十分钟 1集合A1，0，1，在A的子集中，含有元素0的子集共有()A2个 B4个C6个 D8个答案：B2(多选)下列说法正确的是()A.0 B.0C.若aN N，则a N N D.Q Q答案：BD3已知集合Ax|axx2，B0，1，2，若AB，则实数a的值为()A1或2 B0或1C0或2 D0或1或2答案：D4设集合AxR R|x2x10，BxR R|x2x10，则集合A，B之间的关系是_B A5已知集合Ax|1x2，Bx|1xa，a1(1)若A B，求a的取值范围(2)若BA，求a的取值范围解析：(1)若A B，由图可知，a2.(2)若BA，由图可知，1a2.【号一号号一号课下习之课下习之】1252.作业：；PAB
