1、2.2基本不等式第1课时基本不等式【情境探究情境探究】问题问题1.1.若若a,bR,a,bR,则代数式则代数式a a2 2+b+b2 2与与2ab2ab的关系如何的关系如何?提示提示:因为因为a a2 2+b+b2 2-2ab=(a-b)-2ab=(a-b)2 20,0,所以对所以对a,bR,aa,bR,a2 2+b+b2 22ab.2ab.问题问题2.2.上述结论中上述结论中,“=”,“=”何时成立何时成立?提示提示:对于对于(a-b)(a-b)2 2,当当a=ba=b时时,(a-b),(a-b)2 2=0,=0,所以当所以当a=ba=b时时,a,a2 2+b+b2 2=2ab,=2ab,等
2、号成立等号成立.问题问题3.3.若若a0,b0,a0,b0,把把a a看作看作()()2 2,把把b b看作看作()()2 2,那么那么a+ba+b与与2 2 的关系如何的关系如何?提示提示:a+b-2 =()a+b-2 =()2 2+()+()2 2-2 =(-)-2 =(-)2 20,0,所以所以a+b2 .a+b2 .必备知识生成必备知识生成ababababababab问题问题4.4.问题问题3 3的结论中的结论中,等号成立的条件是什么等号成立的条件是什么?提示提示:对于对于(-)(-)2 20,0,当当 =,=,即即a=ba=b时时,等号成立等号成立,此时此时a+b=2 .a+b=2
3、.ababab【知识生成知识生成】1.1.重要不等式重要不等式当当a,ba,b是任意实数时是任意实数时,有有a a2 2+b+b2 22ab,2ab,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.2.2.基本不等式基本不等式(1)(1)有关概念有关概念:当当a,ba,b均为正数时均为正数时,把把_称为正数称为正数a,ba,b的算术平均数的算术平均数,把把 称为称为正数正数a,ba,b的几何平均数的几何平均数.(2)(2)基本不等式基本不等式:如果如果a,ba,b是正数是正数,那么那么 ,当且仅当当且仅当_时取时取“=”.=”.(3)(3)变形变形:ab ,a+b2 (:ab ,a+b2 (其中其中
4、a0,b0,a0,b0,当且仅当当且仅当a=ba=b时等号成立时等号成立).).a=ba=ba=ba=bab2abab2ab222abab()22ab3.3.最值最值:设设x,yx,y为正实数为正实数(1)(1)若若x+y=s(x+y=s(和和s s为定值为定值),),则当则当_时时,积积xyxy有最有最_值值,且这个值为且这个值为_._.(2)(2)若若xy=p(xy=p(积积p p为定值为定值),),则当则当_时时,和和x+yx+y有最有最_值值,且这个值为且这个值为_._.4.4.利用基本不等式求最值的基本条件利用基本不等式求最值的基本条件:一一_,_,二二_,_,三三_._.x=yx=
5、y大大x=yx=y小小2s42 p正正定定相等相等关键能力探究关键能力探究探究点一对基本不等式的理解探究点一对基本不等式的理解【典例典例1 1】下列结论正确的是下列结论正确的是()A.A.若若xR,xR,且且x0,x0,则则 +x4+x4B.B.当当x0 x0时时,2,2C.C.当当x2x2时时,x+,x+的最小值为的最小值为2 2D.D.当当0 x20 x2时时,x-,x-无最大值无最大值【思维导引思维导引】注意基本不等式成立的条件注意基本不等式成立的条件,以及等号成立的条件以及等号成立的条件.4x1x1xx1x【解析解析】选选B.B.对于选项对于选项A,A,当当x0 x0时时,+x4,+x
6、4显然不成立显然不成立;对于选项对于选项B,B,符合应用符合应用基本不等式的三个基本条件基本不等式的三个基本条件“一正一正,二定二定,三相等三相等”;对于选项对于选项C,C,忽视了验证等忽视了验证等号成立的条件号成立的条件,即即x=,x=,则则x=x=1,1,均不满足均不满足x2;x2;对于选项对于选项D,x-D,x-在在0 x200;ab0;ab0;ab0,b0;a0,b0;a0,b0.a0,b2),n=2-bm=a+(a2),n=2-b2 2(b0),(b0),则则m,nm,n之间的大小关系是之间的大小关系是_._.(2)(2)若若0a1,0b1,0a1,0b2,a2,所以所以a-20,a
7、-20,又因为又因为m=a+=(a-2)+2,m=a+=(a-2)+2,所以所以mm2 +2=4,2 +2=4,由由b0,b0,得得b b2 20,0,所以所以2-b2-b2 22,n=2-b2,n=2-b2 24,n.mn.答案答案:mnmn1a21a21a2a2g（）(2)(2)因为因为0a1,0b1,ab,0a1,0b2 ,aa+b2 ,a2 2+b+b2 22ab,2ab,所以四个数中最大的所以四个数中最大的数应从数应从a+b,aa+b,a2 2+b+b2 2中选择中选择.而而a a2 2+b+b2 2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).
8、又因为又因为0a1,0b1,0a1,0b1,所以所以a(a-1)0,b(b-1)0,a(a-1)0,b(b-1)0,所以所以a a2 2+b+b2 2-(a+b)0,-(a+b)0,即即a a2 2+b+b2 2a+b,0,b0.a0,b0.【定向训练定向训练】已知已知a,b,ca,b,c都是非负实数都是非负实数,试比较试比较 与与 (a+b+c)(a+b+c)的大小的大小.【解析解析】因为因为a a2 2+b+b2 22ab,2ab,所以所以2(a2(a2 2+b+b2 2)a)a2 2+b+b2 2+2ab=(a+b)+2ab=(a+b)2 2,所以所以 (a+b),(a+b),同理同理
9、(b+c),(c+a),(b+c),(c+a),所以所以 (a+b)+(b+c)+(c+a),(a+b)+(b+c)+(c+a),即即 (a+b+c),(a+b+c),当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,等号成立等号成立.222222abbcca 2222ab2222bc2222ca22222222abbcca2 222222abbcca2 探究点三利用基本不等式证明不等式探究点三利用基本不等式证明不等式【典例典例3 3】已知已知a,b,ca,b,c均为正实数均为正实数.求证求证:【思维导引思维导引】对不等式左边变形对不等式左边变形,使其能利用基本不等式使其能利用基本不等式.2b3caa
10、3c2ba2b3c3.a2b3c【证明证明】因为因为a,b,ca,b,c均为正实数均为正实数,所以所以 2(2(当且仅当当且仅当a=2ba=2b时等号成立时等号成立),),2(2(当且仅当当且仅当a=3ca=3c时等号成立时等号成立),),2(2(当且仅当当且仅当2b=3c2b=3c时等号成立时等号成立),),将上述三式相加得将上述三式相加得 (当且仅当当且仅当a=2b=3ca=2b=3c时等号时等号成立成立),),所以所以 3(3(当且仅当当且仅当a=2b=3ca=2b=3c时等号成立时等号成立),),即即 (当且仅当当且仅当a=2b=3ca=2b=3c时等号成立时等号成立).).2baa2
11、b3caa3c3c2b2b3c2ba3ca3c2b()()()6a2ba3c2b3c2ba3ca3c2b(1)(1)(1)a2ba3c2b3c 2b3caa3c2ba2b3c3a2b3c【类题通法类题通法】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)(1)策略策略:从已证不等式和问题的已知条件出发从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理借助不等式的性质和有关定理,经过逐步地逻辑推理经过逐步地逻辑推理,最后转化为所求问题最后转化为所求问题,其特征是以其特征是以“已知已知”看看“可知可知”,逐步推向逐步推向“未知未知”.(2)(2)注意
12、事项注意事项:多次使用基本不等式时多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立要注意等号能否成立;累加法是不等式证明中的一种常用方法累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用证明不等式时注意使用;对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用形成基本不等式模型再使用.【定向训练定向训练】已知已知a,b,ca,b,c为正数为正数,求证求证:bcacababc3.abc 【证明证明】左边左边=因为因为a,b,ca,b,c为正数为正数,所以所以 2(2(当且仅当当且仅当a=ba=b时取时取“=”);=”);2(2(当且仅当当且仅当
13、a=ca=c时取时取“=”);=”);2(2(当且仅当当且仅当b=cb=c时取时取“=”).=”).从而从而 (当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号).).bccaab111aabbcc bacacb()()()3.abacbcbaabcbbccaacbacacb()()()6abacbc所以所以 即即 (当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号).).bacacb()()()33abacbc，bcacababc3abc 配凑法配凑法:根据已知条件配凑根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件基本不等式所满足的条件构造法构造法:通过不等式的放缩通过不等式的放缩将所给等量
14、关系变为不等式将所给等量关系变为不等式函数法函数法:用代换法转化为用代换法转化为函数问题再求函数的最大函数问题再求函数的最大(小小)值值核心知识核心知识方法总结方法总结易错提醒易错提醒核心素养核心素养重要不重要不等式等式基本不基本不等式等式（1 1）应用基本不等式）应用基本不等式时，注意一正二定三相时，注意一正二定三相等的条件等的条件（2 2）注意分析给定不）注意分析给定不等式，变形、组合、等式，变形、组合、添加系数的目的是使添加系数的目的是使之能够出现定值之能够出现定值逻辑推理、数学运算：逻辑推理、数学运算：用重要不等式、基本不用重要不等式、基本不等式求最值等式求最值，培养，培养逻辑逻辑推理
15、与数学运算的核心推理与数学运算的核心素养素养课堂素养达标课堂素养达标1.1.下列不等式中下列不等式中,正确的是正确的是()A.a+8A.a+8B.aB.a2 2+b+b2 24ab4abC.C.D.D.【解析解析】选选D.D.若若a0,a0,则则a+8a+8不成立不成立,故故A A错错;若若a=1,b=1,aa=1,b=1,a2 2+b+b2 24ab,0,b0,a+2b=5,a0,b0,a+2b=5,则则abab的最大值为的最大值为()【解析解析】选选D.a0,b0,a+2b=5,D.a0,b0,a+2b=5,则则ab=aab=a2b 2b 当且仅当当且仅当a=,b=a=,b=时取等号时取等
16、号.252525A 25 B.C.D.2481221a2b25()228，54523.3.若若a1,a1,则则a+a+的最小值是的最小值是()A.2A.2B.aB.aC.C.D.3D.3【解析解析】选选D.D.因为因为a1,a1,所以所以a-10,a-10,所以所以a+=a-1+1 +1a+=a-1+1 +1=3.=3.当且仅当当且仅当a-1=a-1=即即a=2a=2时取等号时取等号.2 aa 11a 112(a 1)a 11a 11a 11a 14.4.已知已知x,yx,y为正实数为正实数,且且x+y=4,x+y=4,求求 的最小值的最小值.【解析解析】因为因为x,yx,y为正实数为正实数,
17、所以所以(x+y)=4+4+2 .(x+y)=4+4+2 .当且仅当当且仅当 即即x=2(-1),y=2(3-)x=2(-1),y=2(3-)时取时取“=”.又又x+y=4,x+y=4,所以所以 的最小值为的最小值为1+.1+.13xy13()xy3y3x()xyy3xxy，33133131xy2xy，故325.5.已知已知x,y,zx,y,z是互不相等的正数是互不相等的正数,且且x+y+z=1,x+y+z=1,求证求证:8.8.【证明证明】因为因为x,y,zx,y,z是互不相等的正数是互不相等的正数,且且x+y+z=1,x+y+z=1,又又x,y,zx,y,z为互不相等的正数为互不相等的正数,由由,得得 8.8.111(1)(1)(1)xyz2 yz11xyz1xxxx11yxz2 xz1yyyy2 xy11zxy1zzzz所以 ，111(1)(1)(1)xyz本课结束本课结束
