1、引入 相等关系和不等关系是数学中最基本的数学关系，我们利用这两种关系可以构建方程、不等式，再通过方程、不等式来解决数学内外的各种问题数学。在初中，我们已经学过了一次函数、方程和不等式，以及二次函数、一元二次方程，知道了方程(组)、不等式和函数具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来。本章将围绕不等式展开主要内容，包括用不等式刻画不等关系、不等式的性质，并对两类不等式基本不等式和一元二次不等式进行研究。在本章，我们还将通过回顾、梳理初中的内容提炼出其中的思想方法类比等式的基本性质研究不等式的性质，进一步研究基本不等式，类比利用一次函数、方程和不等式关系解决一次不等式的方法，来研究利用二次函数
2、、方程和不等式的关系来解决一元二次不等式的有关问题。在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢，长与跌、轻与重、不超过与不少于等。类似于这样的问题，反应在数量上，就是相等与不等。相等就用等式来表示，不等就用不等式来表示。因此，你能再说出一些不等关系吗？两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；任一个实数不超过其绝对值；.接下来，我们就首先来看如何用不等式来刻画这样一些不等关系。不等式就是用来表示不等式关系的式子。知识探究(一)2.5%2.3%fp 思考2：为什么(1)用的是不等式，(2)要用不等式组？问题1:你能用不等式或不等式
3、组表示下列问题中的不等关系吗？(1)某路段限速40km/h；(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(4)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。(1)设汽车的速度为vkm/h，则 0v40(2)由题意得 思考1:“限速40km/h”是什么意思？“不少于”呢？“最短”呢？“限速40km/h”就是要求速度的大小不超过40km/h；不少于就是大于或等于。(1)中只有1个不等关系，而(2)中要求2个不等关系同时成立。问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(1
4、)某路段限速40km/h；(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(4)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。思考3：你能写出其它可能的情况吗？(3)设ABC的三边分别为a,b,c，则 (4)设C是直线AB外的任意一点，CD垂直AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则 CDa，a+cb，c-bc，a-bc.b-ca;a-cb.c-ab.b-a0 aba-b 0 ab.a-b=0 ab 在初中我们已经归纳出一些性质，这些性质为什么对，不等式还有没有其它的一些性质，
5、要弄清这些问题就要用到确定两个实数大小的方法。思考5：事实上，我们也可以用两个实数的差来判定这两个实数的大小关系，你知道如何判定吗？如何用数学语言描述这个基本事实？思考4：在初中，两个实数的大小关系是如何规定的？根据它们在数轴上位置，从左到右，依次增大 两个实数的大小关系的基本事实ababa=b小结小结1.(2)(3)(1)(4)例比较与的大小xxxx 解：例 析(2)(3)-(1)(4)xxxx 22(56)-(54)xxxx 2 20,(2)(3)(1)(4)xxxx 22222.0,0(-)()()(-)例 若，比较与的大小。xyxyxyxyxy解：2222(-)()-()(-)xyxy
6、xyxy 222(-)()-()xyxyxy 2(-)xy xy 当时，xy 2222(-)()()(-)xyxyxyxy 22()(-)()-()(-)xyxyxyxyxy 0,0，xy 0 xy 2(-)0,xy x y 当时，xy 2(-)0,xy x y 2222(-)()()(-)xyxyxyx y 当时，xy 2(-)0,xy x y 2222(-)()()(-)xyxyxyx y 思考6：以上这种比较大小方法叫作差法，请问用作差法比较大小的一般步骤是怎样的？差值法比较大小的一般步骤 对差变形的目的是什么？你认为一般些会用到哪一些方法？(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)作结
7、论。目的：便于判定差的符号常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等 如果差的符号不确定，该怎么办？当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 作结论的依据是什么？根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论小结小结40401.(3)(7)(4)(6);(2)2.,(3)2xxxxPabababP 比较和的大小教材第题已知证明。教材第题练 习解:(1）(3)(7)-(4)(6)xxxx 22(1021)-(1024)xxxx 4 40 (3)(7)(4)(6)xxxx (2）2aba 2()2aab 2ab ab 0 2abb ()22abb 2ab 0 2abab 证明不等式可以转化为比较大
8、小 3.比较下列两组代数式的大小：(1)x2+2与2x-1(2)2x(x+1)与x(x-3)，其中x 0222-1xx (2)2(1)-(3)x xx x 22(22)-(3)xxxx 25xx (5)x x 5x ，(5)0 x x 2(1)(3)x xx x 思考4：若将“x-5”改为“x2aba2+b2=2abE(FGH)当a=b时，正方形ABCD的面积等于S四个直角三角形的面积和S，即aba=b时 综上，a2+b22ab 以上的a,b均为正数，实际上，a,b为任意实数时，此不等式也成立。22()-2abab 当时,ab 证明：2()ab22()20,abab 思考3：你能证明这个不等式
9、吗？一 般 地，有当 且 仅 当时，等 号 成 立。22,2a bRababab 2()0ab 当时,ab 2()0ab 当且仅当时，等号成立。ab 重 要 不 等 式小结 1.不等关系是普遍存在的；用来表示不等关系的式子叫不等式。利用不等式(组)刻画不等关系时应注意下列问题：2.两个实数大小关系的基本事实是怎样的？(1)问题中的不等关系有哪一些，是否需要这些不等关系同时成立;(2)每一个不等关系各是怎样的；(3)需不需要设出变量。3.如何利用“两个实数大小关系的基本事实”来比较大小或证明不等式？4.重要不等式 一 般 地，有当 且 仅 当时，等 号 成 立。22,2a bRababab 1.
10、教材P42习题2.1 第2,3,4题作业2已知试比较选做与题的大小。2.0,11)2(abababab 简 析：2-112abab 2-2ababab 2()42()ababab 2()2()abab 当时，0,0ab ，2(-)02()abab 即2112abab 0,abab 当时，0,0ab ，2(-)02()abab 即2112abab 赵爽，又名婴，字君卿，生平不详（约182-250年）。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家 据载，他研究过张衡的天文学著作灵宪和刘洪的乾象历，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了周髀，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为周髀算经。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。他详细解释了周髀算经中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。阅读材料返回返回
