1、讲课人：邢启强2 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽赵爽的弦图的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。新课引入新课引入讲课人：邢启强3思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个思考：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？新课引入新课引入正方形和直角三角形讲课人：邢启强4ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABC
2、D的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S=ab2、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：SS问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？新课引入新课引入讲课人：邢启强5ADBCEFGHba22ab重要不等式重要不等式：一般地，对于一般地，对于任意实数任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab学习新知学习新知讲课人：邢启强6思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时
3、当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法）2)(ba学习新知学习新知讲课人：邢启强7结论：一般地，对于任意实数结论：一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab适用范围：适用范围：a,bR0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？学习新知学习新知讲课人：邢启强80,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到：即：即：)0,0(ba2abab 即：即：学习新知学习新知讲课人：邢启强9(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号时取等
4、号，基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab适用范围：a0,b0学习新知学习新知你能证明这个不等式吗？你能证明这个不等式吗？讲课人：邢启强102abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分析法分析法22(0,0,(),()abaabb2abab)0,0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba学习新知学习新知法
5、二：作差法法二：作差法讲课人：邢启强11ABCDE如图如图,AB是圆的直径，是圆的直径，C是是AB上与上与A、B不重合的一不重合的一点，点，AC=a,CB=b,过点过点C作作垂直于垂直于AB的弦的弦DE，连，连AD,BD,则则OD=,CD=abab2ba=AC DCDC BC2DCBC ACabO探究几何意义探究几何意义几何意义：几何意义：半径不小于弦长的一半半径不小于弦长的一半RtACDRtDCB，2aba b讲课人：邢启强12适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几
6、何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：学习新知学习新知讲课人：邢启强13 讲课人：邢启强14均值不等式的运用均值不等式的运用例已知例已知x0，求，求 的最小值和此时的最小值和此时x的取值的取值1xx典型例题典型例题变式1：把 改为 成立吗？0 x 0 x 变式2：把 改为 成立吗？0 x 2x 不成立不成立讲课人：邢启强15均值不等式的运用均值不等式的运用典型例题典型例题例例2.已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x
7、+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14讲课人：邢启强16利用基本不等式利用基本不等式 时需要同时满足以下三时需要同时满足以下三个条件：个条件：2aba b(1),a babab均为；(2)与有一个为；(3)正数定值等号必须取到.简称为：简称为：一正、二定、三相等一正、二定、三相等讲课人：邢启强17练习练习1：若若 求求 的最小值的最小值120,3xyxxmin0,30,12312123212xxyxxxxyx解：当且仅当，即时，讲课人：邢启强18构造积为定值，利用基本不等式求最值构造积为定值，利用基本不等式求最值练习2：.111的最小值，求已知+xxx讲课
8、人：邢启强19练习3：.)1(10的最大值，求若xxx 讲课人：邢启强20配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是 常数常数.2=1为为 解解:0 x0.12 x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,x(1-2x)的最大值是的最大值是 .1418构造和为定值，利用基本不等式求最值构造和为定值，利用基本不等式求最值练习4：.21210的最大值，求若xxx讲课人：邢启强21例例3(1)用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这的矩形菜园，问这 个个矩
9、形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？是多少？2m,x my m解：设矩形菜园的长为宽为2 10022()40 xyxyxyxy由可得：100,2()xyxy m则篱笆的长为xy当且仅当时等号成立，10 xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.讲课人：邢启强22例例3(2)用一段长为用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？少？22,2()3618,1898122998
10、1.xx my mxyxyxymxyxyxyxymmy 解：设矩形菜园的长为宽为则矩形菜园的面积为由，当且仅当可得：此时因此这个矩形的长、宽都为时，菜园面积最大，最时等号成立是，大面积讲课人：邢启强23课堂小结课堂小结0,0,2ababab若那么1、本节课主要学习了基本不等式的证明本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。与初步应用。2 2、注意公式的正向、逆向使用的条件以、注意公式的正向、逆向使用的条件以 及及“=”成立的条件。成立的条件。（）若（）若a,bR，那么，那么a2+b22ab （当且仅当（当且仅当a=b时，取时，取“=”号）号）（2）（当且仅当（当且仅当a=b时，取时，取“=”号）号）3 3、会用基本不等式解决简单的最大、会用基本不等式解决简单的最大(小小)值问题。值问题。
