1、基本不等式2abab礼泉二中礼泉二中 袁格丽袁格丽教学目标教学目标1.通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养；2.能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；3.会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。运用基本不等式求最值的三个条件：例例3 (1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问的矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？分析：分析：对于对于(1)，矩形菜园的面积是确定的，长和宽没，矩形菜园的面积是确
2、定的，长和宽没 有确定有确定.若长和宽确定了若长和宽确定了,篱笆的长也就确定了篱笆的长也就确定了.因此我们要解决的问题是因此我们要解决的问题是:当面积确定时，长和当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆最短？宽取什么值时篱笆最短？解：解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为xm，宽为，宽为ym，+2xyxy,+2 100=20 xy2(+)40 xy 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立例例3 (2)一一段长为段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这的篱笆围成一个矩形菜园，问这
3、 个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少最大面积是多少?分析：分析：对于对于(2)，矩形菜园的周长是确定的，长和宽没，矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定有确定.若长和宽确定了若长和宽确定了,矩形菜园的面积也就确定了矩形菜园的面积也就确定了.因此我们要解决的问题是因此我们要解决的问题是:当周长确定时，长和当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的矩形面积最大？宽取什么值时篱笆围成的矩形面积最大？解：解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为xm，宽为，宽为ym，矩形菜园的面积为xy m22x+yxy当且仅当当且仅当x=y时，即时，即x=y=
4、9，等号成立，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2.1892即即 x+y=18，例例4 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为为4800m3，深为，深为3m，如果池底每平方米的造价为，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：分析：水池呈长方体，它的高为水池呈长方体，它的高为3m，底面的长和宽，底面的长和宽没有确定没有确定.因此应当考察底面的长与宽取什么值时
5、水因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低池总造价最低.如果底面的长和宽确定了，水池总造价也如果底面的长和宽确定了，水池总造价也就确定了就确定了.解：解：设水池底面一边的长度为设水池底面一边的长度为xm，宽为，宽为ym，水池总，水池总造价为造价为z元，元，3=4800 xy4800=150+120(2 3+2 3)3zxy=240000+720(+)xy=1600 xy由基本不等式，得由基本不等式，得240000+720(+)240000+7202xyxy240000+7202 1600z=297600.40当当，即即时时，等等号号成成立立.x=yx=y=因此，当水池的底面是边长为因此
6、，当水池的底面是边长为40m的正方形时，的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是水池的总造价最低，最低总造价是297600元。元。课内练习课内练习1.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程:(1)找到解题切入点；(2)字母表示相关量；(3)找出已知隐含的“和定值”或“积定值”；(4)根据目标量表达式的结构特点，观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定，进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题.课堂小结：课堂小结：你能说一说今天有什么收获吗？
