1、2.2 2.2 基本不等式（基本不等式（2 2）基本不等式的内容是什么？应用时需要注意什么？几个重要不等式分别是什么？那么基本不等式如何运用呢？这节课我们就来学习基本不等式的具体运用.对基本不等式的考察主要分为四个方面：解决实际问题，利用基本不等式求最值，利用基本不等式证明不等式.分析:(1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.(2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例3 （
2、1）用篱笆围一个面积为100的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m.（1）由已知得xy=100.,2xyyx由,202xyyx可得，）（所以402 yx.10时，上式等号成立当且仅当 yx因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.应用1：解决实际问题分析:(1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.(2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大
3、时面积最大.（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例3 （1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m.（2）由已知得2（x+y+=36，矩形菜园的面积为xy.，由92182yxxy，可得81xy.9时，等号成立当且仅当 yx因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81.应用1：解决实际问题分析:贮水池呈长方形，它的高是3m，池底的边长没有确定，如果池底的边长确定了
4、，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 ，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？解：贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元，根据题意，有所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.3m)3232(12034800150yxz).(720240000yx由容积为4800 ，可得 因此 所以3m,48003xy.1600 xy,27202
5、40000 xyz当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600.总结：利用基本不等式解决实际问题的思路利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，通过相关的关系建立函数关系式，把实际问题抽象成函数的最值问题.在解题过程中尽量向模型 上靠拢)000(2xbaabxbax，例5 应用2：利用基本不等式求最值._16322的最小值是函数xxy解：16322xxy3161322xx）（316.13222xx）（3182.326.121613222时，等号成立，即）（当且仅当xxx.32616322的最小值是故函数xxy326例6 应用2：利用基本不等式证明不等式.9111,10,0,0cbac
6、bacba求证，且若解：ccbabcbaacbacba111)()(3cbbccaacbaab）（22239.31时，等号成立当且仅当cba练习1.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？解：设矩形的长为x米，宽为y米，面积为 解：设矩形的长、宽分别为x cm，y cm，面积为Sc，则2(x+y)=20，10yx,25)2(2yxxyS.5时等号成立当且仅当 yx故将铁丝折成一个边长为5cm的正方形时，面积最大.2Sm.5.715,3022,5.112222
7、5)22.(2121,3022时等号成立即当且仅当则则yxyxyxyxxyxySyx故当这个矩形的长为15m，宽为7.5m时，菜园的面积最大，最大面积为112.5.练习3.做一个体积为32m，高为2m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？4.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？解：设长方形纸盒底面的长为x m，宽为y m，则2xy=32，即 xy=16，要想用纸最少，则只需底面长宽之和x+y最小.).4(82时等号成立当且仅当而yxxyyx故长方体纸盒底面的长为4m，宽为4m时用纸最少解：设矩形的长为x c
8、m，宽为y cm，则2（x+y）=36，即 x+y=18.由题意知圆柱的侧面积,162)2.(222yxxyS当且仅当x=y=9时，等号成立.故矩形的长宽都为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大.练习5._,0,的最大值为则xyyxxyRyx，0,xyRyx)()(xyyxxyyx)(2xyyx.时，等号成立，即当且仅当yxxyyx.2的最大值为xyyx解：-2练习5.证明：).(22,1,22babaabba求证已知.0baba，baababbababaab22,12222baabba2)(2baba2baba2)(2,22).(22222222babababa，即即.22时取等号，即当且仅当bababa小结作业习题2.2 第3题、第6题
