1、二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值 复习回顾复习回顾 初中阶段我们学了二次函数的哪些知识？初中阶段我们学了二次函数的哪些知识？1、二次函数的概念；、二次函数的概念；2、二次函数的解析式有三种形式：、二次函数的解析式有三种形式：一般一般 两根两根 三顶点；三顶点；3、二次函数的图像画法、性质特征；、二次函数的图像画法、性质特征；)44,2(2abacab0a)44,2(2abacabx xy yy yx x0a练：求二次函数练：求二次函数 的最小值。的最小值。642xxyyxx 242f xx()()112tt，1思考：思考：求函数求函数在区间在区间0，3上的最值？上的最值？在区间
2、在区间上的最小值？上的最小值？在区间在区间 上的上的最大值？最大值？函数函数函数函数)(axxy 1,1x1.轴定区间定轴定区间定例例1.函数函数 在区间在区间0，3上的最大值上的最大值是是_，最小值是，最小值是_。分析：该二次函数是固定的，给出的定义域区分析：该二次函数是固定的，给出的定义域区间也是固定的，此种情况我们称为间也是固定的，此种情况我们称为“定二次定二次函数在定区间上的最值函数在定区间上的最值”。解决此类问题只需画出函数图象，观察对称解决此类问题只需画出函数图象，观察对称轴与区间的位置关系。轴与区间的位置关系。yxx242正向型正向型图1yxxx 224222()x2解：函数解：
3、函数是定义在区间是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是上的二次函数，其对称轴方程是f()22。f()02，顶点坐标为（，顶点坐标为（2，2），），且其图象且其图象最小值为最小值为开口向下，显然其对称轴在开口向下，显然其对称轴在0，3上，上，如图如图1所示。函数的最大值为所示。函数的最大值为，2、轴定区间变、轴定区间变例例2.如果函数如果函数 定义在区间定义在区间 上，上，求求 的最小值。的最小值。分析：该二次函数是固定的，但定义域区间随分析：该二次函数是固定的，但定义域区间随参数参数t的变化而变化，此种情况我们称之为的变化而变化，此种情况我们称之为“定二次函数在动区间上的最值定二次函数
4、在动区间上的最值”。解决此类问题关键在于变换区间位置，对在解决此类问题关键在于变换区间位置，对在不同位置上的图像对称轴与区间位置关系进不同位置上的图像对称轴与区间位置关系进行讨论。行讨论。f xx()()112tt，1f x()x xy y1 11 1t tt+1t+1t tt+1t+1t tt+1t+1t1f xf tt()()()m in 112当当函数取得最小值函数取得最小值时，时，f xf()()min11函数取得最小值函数取得最小值tt 11当当时，时，t 1 1f xf tt()()min112当当函数取得最小值函数取得最小值时，时，f xx()()112x1解：函数解：函数，其对
5、称轴方程为，其对称轴方程为，顶点坐标为（，顶点坐标为（1，1），），图象开口向上。图象开口向上。tt，101 tx1若对称轴在区间若对称轴在区间上时，有上时，有，即，即tt 11f xf()()min11当时，函数取得最小值时，函数取得最小值。0110,11,1)1()(22mintttttxf综上所述，综上所述，tt，1t 1 1t0 x t 1f xf tt()()min112若对称轴在区间若对称轴在区间右侧时，有右侧时，有，即，即当当时，函数取得最小值时，函数取得最小值。tt，11t左侧时，有左侧时，有xtf xf tt()()()m in 112，此时，当，此时，当时，函数取得最小值时
6、，函数取得最小值。若对称轴在区间若对称轴在区间3、轴变区间定、轴变区间定例例3.求函数求函数 在在 上的最大值。上的最大值。分析：该二次函数随着参数的变化而变化，即分析：该二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是我们称这种情况是“动二次函数在定区间上动二次函数在定区间上的最值的最值”。解决此问题的方式是移动对称轴，对不同位解决此问题的方式是移动对称轴，对不同位置的对称轴和定义域区间位置关系进行讨论。置的对称轴和定义域区间位置关系进行讨论。)(axxy 1,1xx xy y-1-11 12ax 2ax 2ax m
7、ax()(1)f xf12a当当时时函数取得最大值函数取得最大值max()()2af xf121a当当时时函数取得最大值函数取得最大值max()(1)f xf12a当当时时函数取得最大值函数取得最大值4)2(22aaxy2ax 121a12a12a22a2a2a解：解：函数函数图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为，应分，应分，即即，和和这三种情形讨论，这三种情形讨论，2amax()(1)f xf22amax()()2af xf2amax()(1)f xf（1）时时（2）时时（3）时时2,)1(22,)2(2,)1(afaafafy最大2,122,42,)1(2aaaaaay最大；即；即逆向型逆
8、向型例例4.已知函数已知函数 在区间在区间 上上的最大值为的最大值为4，求实数，求实数a的值。的值。分析：此题属于已知二次函数最值，求函数或分析：此题属于已知二次函数最值，求函数或区间中参数取值的问题，我们称之为逆向型区间中参数取值的问题，我们称之为逆向型问题，此类问题该如何思考呢？问题，此类问题该如何思考呢？2()21f xaxax 3,22()(1)1,3,2f xa xa x 解：配方可得解：配方可得0,()1,af x（1）若）若不符合题意。不符合题意。0a max()(1)1f xfa 14a3a （3）若）若时，则时，则由由，得，得38a 3a 综上知综上知或或0,amax()(2
9、)81f xfa814a 38a 则则由由，得，得（2）若）若例例5.已知二次函数已知二次函数 在区间在区间 上的最大值为上的最大值为3，求实数，求实数a 分析：此题与上题类似，都属于逆向型问题，但两题区分析：此题与上题类似，都属于逆向型问题，但两题区 别在于上题对称轴是定值别在于上题对称轴是定值 ，该题对称轴，该题对称轴 若仍像上题般讨论参数的正负，则需分析对称轴与区若仍像上题般讨论参数的正负，则需分析对称轴与区 间的位置关系，需分五种情况讨论，过程复杂，但如间的位置关系，需分五种情况讨论，过程复杂，但如 果我们注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的果我们注意到最大值总是在闭区间的端点或抛
10、物线的 顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其 真假，过程就简明多了。真假，过程就简明多了。1x2f(x)ax(2a 1)x 13,22aax212 2a 1f()32a1a2x2 32,22 12（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为此时抛物线开口向下，对称轴方程为，而，而，故，故不合题意；不合题意；解：f(2)31a21a2（2）令）令，得，得此时抛物线开口向上，对称轴方程为此时抛物线开口向上，对称轴方程为 ，闭区，闭区间的右端点距离对称轴较远，故间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；符合题意；0 x3f()322a3 34x2a
11、3 1a2（3）若）若，得，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为此时抛物线开口向下，对称轴方程为在区间内，故在区间内，故综上，综上，不符合题意；不符合题意；，对称轴，对称轴小结：小结：)0()(2acbxaxxf)(xfxm n，设设，求，求在在上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。abacabxacbxaxxf44)2()(222x xy ymnabx2abac442)(nfabacabfxf442)(2min)(),(maxmaxnfmfxfnmab，2x xy ymnabx2abac442)(mf)(nfnab2)()(maxmfxf)()(minnfxfx xy ymnabx2abac442)(nf)(mfbam2)()(maxnfxf)()(minmfxf练习练习232xxf xxx()212()23f xxx1()xtttR，()f xx21a 2 0f xxax()232f(x)x2ax 12()2xf xx,m nmnmn1、已知、已知，求函数，求函数的最值。的最值。，当，当时，求时，求的最大值的最大值，且，且，求函数，求函数的最值。的最值。在区间在区间-1,2上的上的最大值最大值。在区间在区间上的最小值是上的最小值是3最大值是最大值是3，求，求、2、已知已知3、已知、已知4、求、求5、已知函数、已知函数的值。的值。
