1、空白演示单击输入您的封面副标题第第三三章章 函数的概念与性质函数的概念与性质 观察右图可以发现，二次函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0,0)，即xR，都有f(x)f(0).当一个函数的图象有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值。函数的的最大值和最小值与函数的单调性有密切的关系，通常，知道了函数的单调性就能很方便地找到函数的最值。学习新知学习新知学习新知学习新知 思考1：你能以f(x)=-x2的为例，说明函数f(x)最大值的含义吗？-从图象上看，函数f(x)=-x2最大的函数值为0，对应的点是图象的最高点(0,0)。这其中有两层含义：(1)0是f(x)=-x2的函数值，即0=f(0)；(
2、2)0是f(x)=-x2函数值中最大的一个，即xR，都f(x)f(0).思考2：若函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则实数M称为函数的最大值，那么对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？图1ox0 xMyyxox0图2Ma bcmf(x)M思考3：函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？是x0学习新知学习新知函数的最大值函数的最大值一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对于）对于任意任意的的xD，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0D，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f
3、(x)的的最大值最大值 思考：最小值怎么定义的函数的最小值函数的最小值一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对于）对于任意任意的的xD，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0D，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xD，都有f(x)M（f(x)M）注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0D，使得f(x0)=M；(3)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵
4、坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标思考4：如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是a，b吗？函数的最值函数的最值不一定.反之成立吗？思考：是否每个函数都有最大值或最小值？思考：如果一个函数存在最值，那么这个函数的最值是否唯一？取最值时的自变量是否唯一？不是最值唯一自变量不唯一（1）函数的最值和值域反应的是函数的整体性质，针对的是整个定义域；（2）函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在；（3）若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；（4）若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.函数的最值与值域的关系函数
5、的最值与值域的关系1函数函数f(x)2x1(x2，2)的最小值、最大值分别为的最小值、最大值分别为()（优化（优化P73）A3，5B3，5C1，5 D5，3解析解析：因为因为f(x)2x1在在2，2上是减函数，所以当上是减函数，所以当x2时，函数取时，函数取得最小值，为得最小值，为3；当；当x2时，函数取得最大值，为时，函数取得最大值，为5.习题演练习题演练习题演练习题演练例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度h m与时间t s之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高
6、度是多少（精确到1m）例题讲解例题讲解-题型一图像法求函数的最值题型一图像法求函数的最值思考：题中的函数关系描述了实际问题中哪两个量之间的对应关系？什么是”爆裂最佳时刻“？题中的函数关系描述实际问题中烟花距地面高度h m和时间t s的对应关系；“爆裂最佳时刻”即烟花轨迹最高点对应的时间.解：解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有:29)9.4(47.1418)
7、9.4(45.1)9.4(27.142ht 时，函数有最大值当 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的秒是它爆裂的最佳时刻最佳时刻,这时距地面的高度为这时距地面的高度为29 m.oth43215101520例题讲解例题讲解-题型一图像法求函数的最值题型一图像法求函数的最值归纳小结归纳小结图象法求最值的一般图象法求最值的一般步骤步骤习题演练习题演练【解解】作出函数作出函数f(x)的图象，如图由图象可知，当的图象，如图由图象可知，当x1时，时，f(x)取最取最大值，为大值，为f(1)f(1)1.当当x0时，时，f(x)取最小值，为取最小值，为f(0)0，故故f(x)的最大值为的最大值为
8、1，最小值为，最小值为0.2.已知函数已知函数f(x)|x1|2，则函数的最大值是，则函数的最大值是_，值域是，值域是_(优化优化P74）答案：答案：2(，2习题演练习题演练例题讲解例题讲解-题型二单调性法求函数的最值题型二单调性法求函数的最值例2.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则2112122121212(1)(1)22()()11(1)(1)2()(1)(1)xxf xf xxxxxxxxxy21246135xO 分析：由函数的图象可知道，此函数在分析：由函数的图象可知道，此函数在2，6上上递减。所以在区间递减。所
9、以在区间2，6的两个端点上分别取得最的两个端点上分别取得最大值与最小值大值与最小值.)()(,0)()(2121xfxfxfxf 即例2.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy所以，函数 是区间2,6上的减函数.12xy所以，此函数在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值为0.4.例题讲解例题讲解-题型二单调性法求函数的最值题型二单调性法求函数的最值利用单调性求函数的最大利用单调性求函数的最大(小小)值的一般步骤值的一般步骤(1)判断函数的单调性；判断函数的单调性；(2)利用单调性求出最大利用单调性求出最大(小小)值值提醒提醒(1
10、)求最值勿忘求定义域；求最值勿忘求定义域；(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定要注意错误，求解时一定要注意归纳小结归纳小结习题演练习题演练(2)求求f(x)在在1，4上的最大值及最小值上的最大值及最小值习题演练习题演练习题演练习题演练习题演练习题演练例题讲解例题讲解-题型三函数最值的应用题型三函数最值的应用例例3 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产万元，此外每生产1件该件该产品还需要增加投资产品还需要增加投资1万元，年产量为万
11、元，年产量为x(xN*)件当件当x20时，年销售总时，年销售总收入为收入为(33xx2)万元；当万元；当x20时，年销售总收入为时，年销售总收入为260万元记该工厂生万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为产并销售这种产品所得的年利润为y万元万元(年利润年销售总收入年总年利润年销售总收入年总投资投资)(1)求求y(万元万元)与与x(件件)的函数关系式的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？【解解】当当0 x20时，时，yx232x100(x16)2156，x16时，时，y最大值最大值156.而当而当x20时，时，160 x140，故，故x16时取得最大年利润，最大时取得最大年利润，最大年利润为年利润为156万元万元即当该工厂年产量为即当该工厂年产量为16件时，所得年利润最大，为件时，所得年利润最大，为156万元万元例题讲解例题讲解-题型三函数最值的应用题型三函数最值的应用求解实际问题的求解实际问题的步骤步骤归纳小结归纳小结习题演练习题演练习题演练习题演练
