1、3.2.1 单调性与最大（小）值单调性 前面学习了函数的定义和表示法，知道函数 描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大，函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法.)(Axxfy 我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质.观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符
2、号语言刻画这种性质.先研究二次函数的单调性.图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说当x0时，y 随 x 的增大而减小.用符号语言描述就是：这时我们就说，函数 在区间 上是单调递减的.画出它的图像（如图3.2-2），可以看到：,)(,)(0,(,22221121xxfxxfxx，得到任意取).()(2121xfxfxx时，有那么当2)(xxf0,(你能说明为什么 吗？)()(21xfxf.0,02121xxxx.72221）（）可得：（由不等式性质xx).()(,212221xfxfxx即 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调
3、性.下面进一步用符号语言刻画这种性质.先研究二次函数的单调性.图象在 y 轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说当x0时，y 随 x 的增大而增大.用符号语言描述就是：这时我们就说，函数 在区间 上是单调递增的.画出它的图像（如图3.2-2），可以看到：2)(xxf你能说明为什么 吗？)()(21xfxf).()(21xfxf,)(,)(),0,22221121xxfxxfxx，得到任意取).()(2121xfxfxx时，有那么当),0.,0222121xxxx思考：函数 各有怎样的单调性？（1）的图象如图（1）所示，图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说当x0时，y 随 x 的增大而
4、减小.2)(|,|)(xxfxxf|)(xxf用符号语言描述就是：所以，函数 在区间 上是单调递减的.类似地，函数 在区间 上是单调递增的.).()(2121xfxfxx时，有当|,|)(|,|)(0,(,221121xxfxxfxx，得到任意取|)(xxf0,(|)(xxf),0（2）的图象如图（2）所示，图象在 y 轴左侧部分从左到右是下升的，也就是说当x0时，y 随 x 的增大而增大.2)(xxf用符号语言描述就是：所以，函数 在区间 上是单调递增的.类似地，函数 在区间 上是单调递减的.).()(2121xfxfxx时，有当,)(,)(0,(,22221121xxfxxfxx，得到任意
5、取0,(),0 2)(xxf2)(xxf函数单调性与单调区间的定义一般地，设函数 f（x）的定义域为 I，区间 特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.:ID.1)(),()(,212121）上单调递增（如图（在区间那么就称函数时，都有，当如果DxfxfxfxxDxx.2)(),()(,212121）上单调递减（如图（在区间那么就称函数时，都有，当如果DxfxfxfxxDxx 特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.如果函数 y=f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y=f（x）在这个区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 y
6、=f（x）的单调区间.思考（1）设 A 是区间 D 上某些自变量的值组成的集合，而且 都有 我们能说函数 f（x）在区间 D 上单调递增吗？你能举例说明吗？（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减的函数例子吗?（1）不能.例如函数),()(21xfxf.),0),2,)(2DAADxxf，取),()(,212121xfxfxxAxx时，都有，当.)(2上不具有单调性在但Dxxf（2）函数 在定义域R上单调递增.函数 的图象如图所示，f(x)在 上单调递增，在 上单调递减.12)(
7、xxf0,)1(0,)1()(22xxxxxf),1,0,1 1,0,1,(时，当2121,xxAxx例1 根据定义，研究函数 的单调性.分析分析：根据函数单调性的定义，需要考察当 时，还是 根据实数大小关系的基本事实，只要考察 与0的大小关系.解：函数 的定义域是R.)0()(kbkxxf21xx)()(21xfxf)()(21xfxf)()(21xfxf)0()(kbkxxf，则，且2121,xxRxx,)()(212121）（）（）（xxkbkxbkxxfxf所以，得由.02121xxxx当k0时，于是这时，是增函数.021）（xxk).()(,0)()(2121xfxfxfxf即)0()(kbkxxf当k0时，的图象如图（1）；当k0时，的图象如图（2）.00,2121xxxx），（，则），且，（任取21210,xxxx.)()()(21122121xxxxkxkxkxfxf.0,1221xxxx所以，当k0时，函数 在区间 上单调递减.类似地，可以证明其他三种情况.,0)()(21xfxf),()(21xfxf即)0,(xky xky（1）定义域为).,0()0,(（2）当k0时，在 上单调递减；当k0时，xky 小结作业习题3.2 第2题、第3题.
