1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册单调性单调性引入引入 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据他经过测试，得到了有趣的数据数据表明，数据表明，记忆的数量记忆的数量y y是是时间间隔时间间隔t t的函的函数数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：如图：（2 2）“艾宾浩斯记忆遗忘曲线艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行逐渐下降的，对
2、此，我们如何用数学观点进行解释？解释？（1 1）当时间间隔）当时间间隔t t逐渐增大时，你能看逐渐增大时，你能看出对应的函数值出对应的函数值y y有什么变化趋势？有什么变化趋势？一、观察这些函数图像，你能说说它们分别反映了相应函一、观察这些函数图像，你能说说它们分别反映了相应函 xyoxyoxyo在某一区间内，图像在该区间内逐渐上升y随着x 的增大而增大；图像在该区间内逐渐下降y随着x的增大而减小。函数的这种性质称为函数的单调性局部上升或下降下 降上升xy xy2)(xxf 对区间 x1，x2，当x1f(x2)都 任意1、思考：如何利用函数解析式 描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小？”
3、2)(xxfxyo2yx），（02、你能类似地描述 在区间 上是增函数吗？2)(xxf图象在区间 逐渐下降），（0-1x)(1xf2x)(2xf在 内随着x的增大，y减小），（0-），（0-221122f(x)=x,f(x)=x思考：函数 各有怎样的单调性 2)(|,|)(xxfxxf0 xy2xy）上单调递增。，上单调递减，区间（在区间（0)0,|)(xxf递减。）上单调，上单调递增，在区间（在区间（0)0,)(2xxf单调性概念：单调性概念：()yf x xy01x)(1xf2x)(2xf()yf x xy01x2x)(1xf)(2xf对于定义域对于定义域I内某个区间内某个区间D上的上的任
4、意任意两个自变量的值两个自变量的值,21xx12xx)()(21xfxf当当 时时,都有都有就说函数就说函数 在区间在区间D上是上是增函数增函数.这个区这个区间间D就称为就称为单调增区间单调增区间.)(xf)()(21xfxf都有都有12xx 当当 时时,就说函数就说函数 在区间在区间D上是上是减函数减函数.这个区这个区间间D就称为就称为单调减区间单调减区间.)(xf 如果函数 y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。注意一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“,”连接如函
5、数y 在(，0),(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y 在(，0)(0，)上单调递减1x1x增函数吗？在该区间上一定是那么函数且满足在定义域的某区间上函数)(),()(,存在)(212121xfyxfxfxxxxxfy思考：思考：()yf x xy01x2x)(1xf)(2xf思考：思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？1 2 345-1-2-3-4-2-323o42)(xxf你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？如图是定义在闭区间-5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间
6、，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。牛刀小试：牛刀小试：例1 根据定义，研究函数 的单调性。)0()(kbkxxf2121,xxRxx且解：设则)()()()()(212121xxkbkxbkxxfxf02121xxxx当k0时，0)(21 xxk于是)()(0)()(2121xfxfxfxf，即上为增函数。在这时，R)(bkxxf当k0时，0)(21 xxk于是)()(0)()(2121xfxfxfxf即上为减函数。在这时，R)(bkxxf用定义证明函数的单调性的步骤用定义证明函数的单调性的步骤:1.1.取值取值:任取任取x1，x2D，且，且x1x2；4.4.结论结论:根据
7、根据单调性的定义判断单调性单调性的定义判断单调性.3.3.定号定号:确定确定f(x1)f(x2)的符号；的符号；2.2.作差变形作差变形:f(x1)f(x2)，分解为若干可以直接确定符号的，分解为若干可以直接确定符号的式子（式子（通常是通常是因式分解因式分解、通分通分、配方配方、分子有理化分子有理化）；）；乘或除乘或除的式子的式子(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行
8、通分,然后对分子进行因式分解.作差变形的常用技巧作差变形的常用技巧:例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.kp=(k)V为为正正常常数数分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数.kp=v(0,+)证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212V-Vkkp(V)-p(V)=-=kVVV V由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是12p(V)-p(V)021 p(V)p(V)即即所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.kp=,V
9、(0,+)V取值定号作差变形结论(1)一次函数y=kx+b(k0)的单调性由系数k决定:当k0时,该函数在R上是增函数;当k0时,该函数在R上是减函数.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调性以对称轴x=-为分界线.一次、二次函数及反比例函数的单调性一次、二次函数及反比例函数的单调性:达标检测例3 根据定义证明函数根据定义证明函数 在区间在区间 上单调递增。上单调递增。xxy1),1(证明：有且,),1(,2121xxxx)1()()11()()1()1(2121212112212121221121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyy01,1.1,1),1(,21212121
10、xxxxxxxx所以得由0)1(,0,2121212121xxxxxxxxxx于是得又由.21yy 即所以，函数 在区间 上单调递增。xxy1),1(求证求证:函数函数f(x)=x+在区间在区间(0,1)内为减函数内为减函数.证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1x2,0 x1x20,x1x2-10,x1-x20,即f(x1)f(x2).故函数f(x)=x+在区间(0,1)内为减函数.变式练习 函数单调性的应用函数单调性的应用例5 已知函数f(x)在区间(0,+)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f 的大小.1 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.解题方法解题方法（抽象函数单调性求参）2 2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.变式训练变式训练1.已知g(x)是定义在-2,2上的增函数,且g(t)g(1-3t),求t的取值范围.课堂小结 2、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；4、函数单调性的应用
