1、2022年11月2日星期三1人教人教A版（版（2019）必修第一册）必修第一册【学习目标学习目标】奇函数的概念；奇函数的概念；偶函数的概念；偶函数的概念；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的判断；【学习重点学习重点】函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念【学习难点学习难点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 【自学指导自学指导】阅读课本阅读课本P82-84P82-84思考下列问题思考下列问题1 1、奇函数与偶函数的概念分别是什么？、奇函数与偶函数的概念分别是什么？2 2、奇函数与偶函数的图像分别有什么特征？、奇函数与偶函数的图像分别有什么特征？3 3、判断函数的奇偶性的步骤是什么？、判断函数的奇偶性的步骤是
2、什么？引入引入引引 例例1.已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及及f(-x),并画出并画出y=f(-x)的图象的图象解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？偶函数的特征偶函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=f(x)图像特征图像特征:关于关于y轴对称轴对称
3、.如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=)=f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做偶偶函数。函数。1.1.偶函数的概念偶函数的概念2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1 f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=-f(x)思考思考:通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y)奇函数
4、的特征奇函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)图像特征图像特征:关于原点对称关于原点对称.如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=)=-f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做奇奇函数。函数。2.2.奇函数的概念奇函数的概念 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么那么我们就说函数我们就说函数f(x)具有具有奇偶性奇偶性.3.3.奇偶性的概念奇偶性的概念()()f xfx 一看 二找 三判断 看定义域 找关系 下结论 是否关于原点对称 与 奇或偶(1)若若f(x)为为奇奇
5、函数函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.若若f(x)为为偶偶函数函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.(2)判断函数是否具有奇偶性判断函数是否具有奇偶性.首先要看首先要看函数的函数的定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提原点对称是函数具有奇偶性的前提a,b-b,-axo(3)(3)函数的函数的奇偶性奇偶性是函数的是函数的整体整体性质性质;而而函数函数的的单调性单调性是函数的是函数的局部局部性质性质.奇函数的图象奇函数的图象(如如y=xy=x3 3)偶函数的图象偶函数的图象(如如y=xy=x2 2)yxoaaP/(-a,
6、f(-a)p(a,f(a)-ayxoaP/(-a,f(-a)p(a,f(a)-a奇偶函数的图像奇偶函数的图像3奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质(1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.如果一个函数的图象如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数关于原点对称，那么这个函数为奇函数.(3)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.如果一个函数的图象如果一个函数的图象关于关于y轴对称，那么这个函数为偶函数轴对称，那么这个函数为偶函数.(2)奇函数单调性在原点两侧相同。奇函数单调性在原点两侧相同。(4)偶函数的单调性在原点两侧相反偶函数的单调性在原点两侧相反。例例1.
7、1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+2x+2x；(2)f(x)=2x(2)f(x)=2x4 4+3x+3x2 2；解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数函数定义域为函数定义域为R解解:函数定义域为函数定义域为R=f(x)，解解:函数定义域为函数定义域为R3(3)()f xx 33()fxxx f(x).f(x).f(x)为奇函数为奇函数有既是奇函数又是偶函数的吗？有既是奇函数又是偶函数的吗？解
8、解:函数函数定义域为定义域为 0,+)定义域不关于原点对称定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数(4)()f xx-230 xy(6)f(x)=x+1解解:函数函数f(x)的定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0，又又 f(-x)=-f(x)=0，f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数(5)f(x)=0 (x R)根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:奇函数奇函数;偶函数偶函数;既奇又偶函数既奇又偶函数;非奇非偶函数非奇非偶函数.解解:函数定义域为函数定义域为R f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且且f(-x)f(x).f(
9、x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.注：对于形如注：对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数，若若n为偶数，则它为偶函数。为偶数，则它为偶函数。若若n为奇数，则它为奇函数。为奇数，则它为奇函数。练习练习1.1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性f(x)f(x)为奇函数为奇函数.解解:定义域为定义域为x|x0,x|x0,即即 f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),1()()()1,fxxxxx 1(1)()f xxx(2)f(x)=5(2)f(x)=5解解:f(x):f(x)的定义域为的定义域为R.R.f(-x)=f(x)=5 f(-x)=f(x)=5yox5f(x)f(x)为偶
10、函数为偶函数.22(3)()11f xxxf(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,)1()1()1()1(0)1(0)1(ffffff，例2.若函数是偶函数,求m的值及函数的单调区间。2123fxmxmx，单调区间为故均成立，上式对任意化简得即函数是偶函数解：00-3)(0032)1(3)(2)(1()()(222xxfmxmxmxxmxmxmxfxf(1)(2)(3)(4)偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数非奇非偶函数小结ooooxxxxyyyy例例3、判断下列函数的奇偶性、判断下列函数的奇偶性1.1.奇函数和偶函数定义奇函数和偶函数定义.一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y y 轴对称轴对称.2.2.奇偶函数的性质奇偶函数的性质:3.3.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f f(-(-x x)f f(x x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.作业、作业、1 1、书、书P85P85练习的第练习的第2 2题题2 2、书、书P86P86复习巩固的复习巩固的第第5 5题题
