1、3.3 幂函数 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质，本节我们利用这些知识研究一类新的函数，先看几个实例:（1）如果张红以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜 w kg，那么需要支付p=w元，这里pw的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a，这里S是a的函数；（3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=，这里V是b的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这正方形的边长c=，这里c是S的函数；（5）如果某人t s 内骑行前进了1km，那么他骑行的平均速度v=km/s，即v=，这里v是t的函数.3bSt11t21S也可以表示为S观察（1）
2、（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是 它们都是形如 的函数.一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.幂函数的概念幂函数的特征：（1）的系数为1；（2）的底数是自变量；（3）指数为常数。只有满足这三个条件的函数才是幂函数.;1,21,3,2,1xy xy xxx.)4(6)3(2)2()2()1(25tyxyxyxy判断下列函数是否为幂函数？对于幂函数，我们只研究=时的图像与性质.1,21,3,2,1思考：结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？通常可以先根据函数解析式求出函数
3、的定义域，画出函数的图像；再利用图像和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.在同一坐标系中画出函数 的图像.如图3.3-1.,xy 12132,xyxyxyxy和，观察图象可知：（1）幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；图像最多只能同时出现在两个象限内.（2）偶函数的图像分布在第一、第二象限内，奇函数的图像分布在第一、第三象限内，非奇非偶函数的图像只出现在第一象限内.（3）在第一象限内，直线x=1的右侧，图像从下到上，相应的指数由小到大，直线x=1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大到小.观察函数图像，并结合函数解析式将你发现的结论写在下表.探究定义域值域奇偶
4、性单调性xy 2xy 3xy 21xy 1 xyRRRRR0,+)0,+)0,+)x|x0y|y0奇函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶增函数（-，0单调递减0,+）单调递增增函数（-，0单调递减0,+）单调递减增函数这些函数图像有公共点吗？有，公共点为（1，1）通过图3.3-1与表3.3-1，我们得到（1）函数 的图象都通过点（1，1）；（2）函数 是奇函数；函数 是偶函数；（3）在区间（0，+），函数 单调递增；函数 单调递减；（4）在第一象限内，函数 的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.12132,xyxyxyxyxy和13,xyxyxy2xy 2132,xyxyxyxy1 xy1
5、xy 总结（1）单调性：当0时，在（0，+）（即第一象限）上单调递增；当0 1，图象上凸（抬着头递增）当0时，在（0，+）（即第一象限）上单调递减；（2）奇偶性：与的取值有关，具体判断方法如右图所示：xy xy 函数的定义域是0，+）.例1证明幂函数 是增函数.xxf)(证明：,),0,2121xxxx且2121)()(xxxfxf有.)(2121212121xxxxxxxxxx),()(,0,0212121xfxfxxxx所以因为即幂函数 是增函数.xxf)(在进行无理式的变形时，不仅可以将分母有理化，也可以将分子有理化.练习1.已知幂函数 的图象过点 ，求这个函数的解析式.解：设 ，则)(
6、xfy)2,2(xy.)(.2122,222121xxf所以，所以即设幂函数的解析式为 ，只需图像上一个点的坐标即可确定参数，进而得幂函数的解析式.xy 2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小:.4.11,5.11)2(；33)4.1(,)5.1)(1(解：（1）设 则 是R上的增函数，,)(3xxf)(xf因为-1.5-1.4，所以.)4.1()5.1(33（2）设 则 在（-，0）上单调递增，,1)(xxg)(xg因为-1.5-1.40，所以.4.115.11两个幂的指数相同，底数不同时，可以构造幂函数 ，利用其单调性比较幂值大小.xy 练习3.根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数 的单调性，并判断其奇偶性.3)(xxf解：的定义域为R，3)(xxf,2121xxRxx且323121)()(xxxfxf则.432)()(222212122212121xxxxxxxxxxx.0,212121xxxxRxx所以且因为.043222221xxx).()(0)()(2121xfxfxfxf，即所以所以 在R上为增函数.3)(xxf),()()(33xfxxxf所以 为R上的奇函数.3)(xxf又因为)()2()()1(22332233babababababababa；补充：小结作业习题3.3
