1、第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者。徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德几何原本时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”。徐光启徐光启（1562163315621633）写出下列写出下列y关于关于x的函数关系式的函数关系式v(1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她需要支付那么她需要支付p=w元元;v(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为a,那么正方形的面积那么正方形的面积 s=a2;v(3)如果立方体的棱长为如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积那么立方体的体积V=b3;v(4)如果一个正方
2、形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长那么这个正方形的边长c=v(5)如果人如果人ts内骑车行进了内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度那么他骑车的平均速度v=km/s.St1这5个关系式都是函数关系，它们有什么共同特征？Sc21tv1以上问题中的函数有什么共同特征？以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如上述问题中涉及的函数，都是形如y=x的函数。的函数。(1)y=x(2)y=x2(3)y
3、=x3(4)y=x1/2(5)y=x-1 一般地，函数一般地，函数y=x叫做叫做，其中，其中x是自变量，是自变量，是常数是常数.注注：(1)为常量为常量,.(2)中前面的系数为中前面的系数为1.(3)定义域没有固定定义域没有固定,与与 的值有关的值有关.Rxy 1.1.幂函数定义幂函数定义2.2.幂函数的特征幂函数的特征 只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如 等的函数不是幂函数.2.2.幂函数的特征幂函数的特征判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4 21)2(xy(3)y=-xe 21)4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2(7)y=(x-1)2xy1)8(
4、2.2.幂函数的特征幂函数的特征 对于对于幂函数幂函数y=x,我们只研究我们只研究=1，2，3，-1的图像和性质的图像和性质.21xy xy2xy3xy21xy13.幂函数的图像xyo11223344-4-1-1-2-3-3-2(1,1)yx五个常用幂函数的图象：五个常用幂函数的图象：(2,4)(-2,4)(-1,-1)2yx1yx12yx3yx123.幂函数的图像xOxy y函数函数xy 定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性RR奇函数奇函数增函数增函数3.幂函数的图像yxO1-xy函数函数定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性奇函数奇函数(-，0)单调递减单调递减(0，+)单调
5、递减单调递减(-，0)(0，+)(-，0)(0，+)1-xy3.幂函数的图像yxO2xy 2xy 函数函数定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性R偶函数偶函数(-，0)单调递减单调递减(0，+)单调递增单调递增(0，+)3.幂函数的图像yxO21xy 函数函数21xy 定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性0,+)非奇非偶非奇非偶函数函数 增增函数函数0,+)你能给出函数 单调性的代数证明吗？xxxf21)(例 证明幂函数 是增函数xxf)(证明：函数的定义域为证明：函数的定义域为0,+),任取任取x1,x2 0,+),且且x1x2,则则:21212121212121 )()()(
6、xxxxxxxxxxxxxfxf.),0)(),()(,0,0212121上是增函数在即幂函数所以因为xxfxfxfxxxx注意注意:若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子,往往往往 采用有理化的方式采用有理化的方式.3.幂函数的图像3xy yxO函数函数3xy 定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性RR奇函数奇函数增函数增函数3.幂函数的图像【总结】只有 时图像才是直线；图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；图像一定经过(1,1)这个定点；第一象限内 由上到下递减.【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.在同一坐标系中画出函数的图像：3.幂函数的图像【总
7、结】时，图像在定义域内上升；时，图像在第一象限下降；只有 时，图像才与坐标轴 相交，且交点一定为原点；时，图像是y=1这条直线.【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质.在同一坐标系中画出函数的图像：3.幂函数的图像 y=xy=x2y=x3 y=x y=x-1定义定义域域值域值域奇偶奇偶性性单调单调性性 公共公共点点奇函数奇函数偶函数偶函数奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇图象都过点图象都过点(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）增函数增函数在在(-(-，0)0)上单调递减，上单调递减，12增函数增函数在在(-(-，00上单调递减上单调递减在在0 0，+)+)上单调递增上单调递
8、增在在(0(0，+)+)上单调递减上单调递减增函数增函数3.幂函数的图像4.幂函数的性质和 两种情况下幂函数的图像变化及性质表：在在(0，+)上都有定义，定义域与上都有定义，定义域与a的取值有关的取值有关图像过点图像过点(0，0)和点和点(1，1)图像过点图像过点(1，1)在在(0，+)上是增函数上是增函数在在(0，+)上是减函数上是减函数在第一象限，当在第一象限，当0 0a a1 1时，时，图像上凸；当图像上凸；当a1时，图像下凹时，图像下凹在第一象限，图像都下凹在第一象限，图像都下凹与与a的取值有关的取值有关奇函数奇函数偶偶函数函数奇函数奇函数偶偶函数函数非奇非偶非奇非偶函数函数5.幂函数奇偶性的判断方法
