1、 第一章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节第五节 极限运算法则一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则命题命题 两个无穷小的和还是无穷小两个无穷小的和还是无穷小.直观记忆：直观记忆：0+0=00+0=00lim 0lim 0)(lim 说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!定理定理1 1：有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小.同理可证：三个无穷小之和也是无穷小同理可证：三个无穷小之和也是无穷小.用数学归纳法可证用数学归纳法可证:直观记忆：
2、直观记忆：M*0=00=0这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。回忆一些重要的有界函数。回忆一些重要的有界函数。定理定理 2.2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.4常见的有界函数常见的有界函数5注意：注意：也有界也有界记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。6定理定理 2.2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 1.1.常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2.2.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .注注
3、:无限个无穷小的乘积不一定是无穷小无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !问问:无穷大是否有类似的性质？无穷大是否有类似的性质？以下命题成立？以下命题成立？（1 1）两个无穷大之和也是无穷大）两个无穷大之和也是无穷大？（2 2）两个无穷大的积也是无穷大？）两个无穷大的积也是无穷大？（3 3）无穷大与有界函数的和也是）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？无穷大？（4 4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？（5 5）无穷大与无穷小的乘积是什么？）无穷大与无穷小的乘积是什么？说不清楚，有各种可能说不清楚，有各种可能D DP45 P45 第第4 4题题9定理定理3 3 二
4、二.极限的四则运算法则极限的四则运算法则则则 若若lim()f xC若存在，且为常数,lim()f xn若存在，且 为正整数,10推论推论 1.1.lim()lim().C f xCf x则推论推论 2.2.lim()lim()nnf xf x则lim()lim()()().f xAg xBf xg xAB，定理5 若且则11limlim(1)lim();(2)lim;(3)00lim.nnnnnnnnnnnnnnxAyBxyABx yABxAyByB，若则当且时注意：注意：极限的四则运算法则成立的条件为：极限的四则运算法则成立的条件为：参与四则运算的各项的极限都存在！参与四则运算的各项的极限
5、都存在！定理定理 4.4.12极限的计算极限的计算一些基本极限（一些基本极限（已经证明已经证明或或明显的明显的）13101(),nnnf xa xa xa nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 结论：结论：设多项式设多项式 则有则有143221lim.35xxxx例 1 求 解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例例
6、2.2.结论：结论：0()(),()0,()P xf xQ xQ x且且)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf 0()0,.Q x 若若则则商商的的法法则则不不能能应应用用设有理分式函数设有理分式函数 则有则有解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例3 3.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx先求其倒数的极限先求其倒数的极限结论：结论：解例例4 4.321lim2
7、21 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 消去零因子法消去零因子法1.x先先消消去去零零因因子子后后再再求求极极限限)00(型型例5例5结论：结论：1.1.934lim223xxxx2123lim.54xxxx 2.2.2112 lim().11xxx 3.3.22011limxxx 4 4练习练习2331lim3xxx934lim223xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx6231练习练习1.1.934lim223xxxx解解:24解解:x=1 时时324
8、5lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母=0,=0,分子分子0 0,但因但因2123lim.54xxxx 练习练习2.2.2112 lim().11xxx 解：)1211(lim 21xxx )1)(1(211lim 1xxxx )1)(1(1lim 1xxxxxx 11lim 1.21 通分练习练习3.3.解解:原式原式22011limxxx 2220)11(limxxxx )11(lim20 xx .2 练习练习4 4例6.145523lim)1(233 xxxxx求求解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x.,3再再求求极极限限分分出
9、出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x145523lim233 xxxxx.53 332145523limxxxxx “抓大头抓大头”例6.147532lim)2(232 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x147532lim232 xxxxx332147532limxxxxxx .0 例6.532147lim)3(223 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x532147lim223 xxxxx323532147limxxxxxx .30为非负常数)nmba,0(00nm当mmmxaxaxa110li
10、mnnnbxbxb110,00ba,0,nm当nm当结论结论 ：)(型型 注注:这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项，这种极限的结果只取决于分子和分母中的最大项，其他项对结果毫无影响。其他项对结果毫无影响。“抓大头抓大头”例例7 7).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.拆项相消拆项相消例8.sinlim)1(xxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx.sin 是有界函数是有界函数而而x.0sinlim xx
11、xxxysin(利用无穷小的性质利用无穷小的性质)2008200931(2)limsin.51xxxxxx 求=0三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理6 6：34解解:令.93lim23xxx932xxu则ux3lim61 原式=uu61lim6166例例9.9.求 复合函数求导复合函数求导 （变量代换）（变量代换）35.11lim1xxx11lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2练习练习.求 分母有理化分母有理化解解:36练习练习)1(lim2xxxx求求解解:原式=xxxx12lim11112xxlim21内容小结内容小结1.极限运算法则极限运算法则(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)极限四则运算法则极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2.求函数极限的方法求函数极限的方法(1)分式函数极限求法分式函数极限求法0)1xx 时时,用代入法用代入法(要求分母不为要求分母不为 0)0)2xx 时时,对对00型型,约去公因子，约去公因子，x)3时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”(2)复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量
