1、赤峰市赤峰市 2020 年高三期末考试试卷年高三期末考试试卷 理科数学理科数学 一、选择题一、选择题 1.已知集合 2 230Ax xx,lg1Bxx,则集合 RA B ( ) A. 0,10 B. C. 0,10 D. 0,1 【答案】A 【分析】 化简集合,A B,根据补集定义和交集定义,即可求得答案. 【详解】 2 230Ax xx RA R lg1010Bxxxx 010 RA Bxx 故选:A. 【点睛】 本题考查了集合的补集运算和交集运算,解题关键是掌握补集定义和交集定义,考查了计算能力,属于 基础题. 2.若复数 2 34 ai i 为纯虚数,i是虚数单位,则实数a ( ) A.
2、 3 2 B. 3 2 C. 8 3 D. 8 3 【答案】D 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简,因为复数 2 34 ai i 为纯虚数,则实部为0且虚部不为0联立方程,即可求得 答案. 【详解】 2(2 )(34 )3846 34(34 )(34 )2525 aiaiiaa zi iii 复数 2 34 ai i 为纯虚数 实部为0且虚部不为0 可得 380 460 a a 解得: 8 3 a 故选:D. 【点睛】本题考查根据复数为纯虚数求参数,解题关键是掌握复数代数形式的乘除运算和复数的纯虚数的定 义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 3.下表是某城市在 2019年 1 月份
3、至 10月份各月最低温与最高温()的数据表,已知该城市的各月最低温与 最高温具有相关关系,根据该表,则下列结论错误的是( ) 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温 12 3 1 2 7 17 19 23 25 10 A. 最低温与最高温为正相关 B. 每月最低温与最高温的平均值在前 8个月逐月增加 C. 月温差(最高温减最低温)的最大值出现在 1月 D. 1 至 4月温差(最高温减最低温)相对于 7至 10 月,波动性更大 【答案】B 【分析】 根据题意,逐项分析,即可求得答案. 【详解】对于 A,由题意可知该城市
4、的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为 正相关,故 A正确; 对于 B,由表中数据,每月最高温与最低温的平均值依次为: 3.5,3,5,4.5,12,20.5,23,26.5,28,15.5,在前8个月不是逐月增加,故 B错误; 对于 C,由表中数据,月温差依次为:17,12,8,13,10,7,8,7,6,11;月温差的最大值出现在1月,故 C正确; 对于 D,由 C 的结论,分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月,波动性更大, 故 D 正确. 故选:B. 【点睛】本题的解题关键是掌握正负相关的定义和掌握统计学的基本概念,考查了分析能力,属于基础题. 4.设函
5、数 22 sincosf xxx,则下列结论正确的是( ) A. f x的最小正周期为2 B. f x的一个零点为 3 4 C. f x在, 2 上单调递增 D. f x 图象关于直线 5 4 x 对称 【答案】B 分析】 将 22 sincosf xxx,化简为 cos2f xx ,根据余弦图像,逐项判断,即可求得答案. 【详解】 2222 sincoscossincos2f xxxxxx 对于 A, cos2f xx ,可得 2 根据余弦函数最小正周期计算公式可得: 2 T 可得:T,故 A 错误; 对于 B, cos2f xx cos2cos2f xxx 根据余弦函数图像可得f x零点为
6、: 0 2, 2 xkkZ 可得: 0 , 24 xkkZ , 当2k 时, 0 3 4 x ,故 B 正确; 对于 C, cos2f xx 根据余弦函数图像可得增区间为:222.kxkkZ . 2 kxkkZ ,则 2 x 不是 f x增区间,故 C 错误; 对于 D, cos2f xx 根据余弦函数图像可得其对称轴为: 0 2,xkkZ 0 , 2 xkkZ ,则直线 5 4 x 不是 f x对称轴,故 D错误; 故选: B. 【点睛】本题的解题关键是掌握余弦图像的基础知识,掌握整体代入求单调区间的解法,考查了分析能力和 计算能力,属于基础题. 5.函数 1 lnf xxx x 的图象大致
7、是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 因为函数 1 lnf xxx x ,判断函数的奇偶性和单调性,结合图像,即可求得答案. 【详解】函数 1 lnf xxx x 函数定义域为:(,0)(0,) 11 ()lnln( )fxxxxxf x xx 函数 f x定义域为(,0)(0,)的奇函数. 当01x时, 2 ln0,10xx 则 1 ( )lnf xxx x 2 222 11111 ( )1ln1ln0 x fxxxx xxxxx 此时函数( )f x是减函数 当1x 时,ln0,x 由 2 1 0 x x ,可得 1 0x x 1 ( )ln0f xxx x 综上所述,函
8、数 1 lnf xxx x 是定义域为(,0)(0,)的奇函数. 当01x时,函数 ( )f x是减函数 当1x 时( )0f x 只有 C图像符合题意. 故选: C. 【点睛】本题考查了根据函数解析求解函数图像,解题关键是掌握奇偶性的定义和根据导数求函数单调性的 求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 6.设、表示三个不同的平面,m nl、 、表示三条不同的直线,则 的一个充分条件是( ) A. , B. m,n C. l,m n,lm,ln D. /m,m 【答案】D 【分析】 根据充分条件的定义,逐项检验,即可求得答案. 【详解】对于 A, 由 ,不能推出,故 A 错误; 对于 B
9、, 由m,n,不能推出,故 B错误; 对于 C, 由一个平面内的一条直线垂直另一个平面的相交直线,则两个平面垂直.由,m n,无法判断 ,m n 是否相交,故由l,m n,lm,ln,不能推出,故 C错误; 对于 D, 根据一个平面内的一条直线垂直另一个平面,则这两个平面垂直,由/m , m,则中存在垂 直平面的直线,可以推出,故 D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了求一个命题的充分条件,解题关键是掌握充分条件的定义和判断面面垂直的方法,考查了 分析能力,属于基础题. 7.已知 为圆周率，e 为自然对数的底数，则 A. e 3e B. 2 3e3 2e C. log e 3 log e
10、D. 3 log e3log e 【答案】D 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出 【详解】对于 A：函数 y=xe是（0，+）上的增函数，A 错； 对于 B：3e23e23e3e3，而函数 y=xe3是（0，+）上的减函数，B错； 对于 C： 3 11 3 3 ee ee log elog eloglog loglog ，而函数 y=logex是（0，+）上的 增函数，C错， 对于 D： 3 3 3 3333 3 ee ee log elog eloglog loglog ，D正确； 故答案为：D 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能
11、力，属于基础题 8.已知双曲线 22 22 1 xy ab (0a ,0b )的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,过 2 F的直线交双曲线右支于,P Q两 点,且 1 PQPF,若 1 3 4 PQPF,则该双曲线离心率e ( ) A 10 3 B. 10 5 C. 17 3 D. 37 5 【答案】C 【分析】 由 1 PQPF, 1 3 4 PQPF, 可 得 1 QF与 1 PF的 关 系 , 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 1212 2aPFPFQFQF,解得| 1 PF,然后利用 12 Rt PFF,推出 , a c的关系,可得双曲线的离心 率. 【详解】设,P Q为双曲线右支
12、上一点, 由 1 PQPF, 1 3 4 PQPF, 在直角三角形 1 PFQ中 2 2 111 5 | 4 QFPFPQPF 由双曲线的定义可得: 1212 2aPFPFQFQF 1 3 4 PQPF 221 3 4 PFQFPF 可得: 111 53 22 44 PFaPFaPF 1 35 14 44 PFa 解得 1 8 3 a PF 21 2 2 3 a PFPFa 在 12 Rt PFF中根据勾股定理: 22 12 82 2 33 aa cFF 解得: 2 17 2 3 ca 17 3 c e a 故选:C. 【点睛】 本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件
13、画出草图,数形结合,寻找几 何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9.设抛物线 C: 2 xpy(0p )焦点为 F,点 M在 C 上,且3MF ,若以 MF为直径的圆过点 2,0,则 C 的方程为( ) A. 2 4xy或 2 8xy B. 2 2xy或 2 4xy C. 2 4xy或 2 16xy D. 2 2xy或 2 16xy 【答案】A 【分析】 根据抛物线C: 2 xpy(0p ),可得其焦点坐标为:0, 4 p ,准线为 4 p y ,设,M x y,故M点到准线 的距离为:+ 4 p y,根据抛物线定义可得:+ 4 p MFy,画出图形,结合已知,即可求得答案. 【详
14、解】设以 MF为直径的圆的圆心为N 画出几何图形: 抛物线C: 2 xpy(0p ) 其焦点坐标为:0, 4 p ,准线为 4 p y 设,M x y,故M点到准线的距离为: 4 p y 根据抛物线定义可得:+ 4 p MFy 3 44 pp yMF 根据中点坐标公式可得:,M F的中点N为: 2 , 22 p y x 以 MF 为直径的圆过点2,0,根据几何关系可得:2 2 x 2 2x 2 2,3 4 p M 代入 2 xpy 可得: 2 2 23 4 p p ,即: 2 12320pp 解得:4p 或8p C的方程为: 2 4xy或 2 8xy 故选:A. 【点睛】本题考查了求抛物线方程
15、,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找 几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 10.“31N 猜想”是指对于每一个正整数n,若n为偶数,则让它变成 2 n ;若n为奇数,则让它变成31n.如 此循环,最终都会变成1,若数字4 5 6 7 8、 、 、 、按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 【答案】B 【分析】 分别对数字4 5 6 7 8、 、 、 、按照若n为偶数,则让它变成 2 n ;若n为奇数,则让它变成31n.如此循环,最终都会 变成1,进行计算,即可求得变换次数为偶数的
16、频率. 【详解】当4n ,第1次运算为: 4 2 2 ,第2次运算为: 2 1 2 ,运算次数为2; 当5n ,第1次运算:3 5 1 16 ,第2次运算为: 16 8 2 , 第3次运算为: 8 4 2 ,第4次运算为: 4 2 2 , 第5次运算为: 2 1 2 ,运算次数为5; 当6n,第1次运算为: 6 3 2 ,第2次运算为:3 3 1 10 , 第3次运算为: 10 5 2 ,第4次运算为:3 5 1 16 , 第5次运算为: 16 8 2 ,第6次运算为: 8 4 2 , 第7次运算为: 4 2 2 ,第8次运算为: 2 1 2 ,运算次数为8; 当7n,第1次运算为:3 7 1
17、22 ,第2次运算为: 22 11 2 , 第3次运算为:3 11 134 ,第4次运算为: 34 17 2 , 第5次运算为:3 17 152 ,第6次运算为: 52 26 2 , 第7次运算为: 26 13 2 ,第8次运算为:3 13 140 , 第9次运算为: 40 20 2 ,第10次运算为: 20 10 2 , 根据可知当10n ,还需要6次运算,运算次数为16; 当8n ,根据可知当8n ,还需要3次运算,运算次数为3; 故数字4 5 6 7 8、 、 、 、按照以上的规则进行变换,变换次数为偶数的为3次 变换次数为偶数的频率为: 3 5 . 故选:B. 【点睛】 本题考查了根据
18、运算规律求频率问题,解题关键是掌握在求解运算规律问题时,应在运算中寻找规律, 减少运算步骤,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 11.在三棱锥PABC中,ABC与PBC均为边长为1的等边三角形, , , ,P A B C四点在球O的球面上,当 三棱锥PABC的体积最大时,则球O的表面积为( ) A. 5 3 B. 2 C. 5 D. 20 3 【答案】A 【分析】 由ABC与PBC均为边长为1的等边三角形, , ,P A B C四点在球O的球面上,当三棱锥PABC的体积 最大时,即面ABC与面PBC垂直,画出图像,求出此时的三棱锥PABC外接球的半径,即可求得答案. 【详解】当三棱锥PAB
19、C的体积最大时,即面ABC与面PBC垂直 画出立体图像: 设PBC外接圆圆心为M,ABC外接圆圆心为N,PABC外接球的半径为R, 取BC中点为Q PBC等边三角形 PQBC 又 面ABC面PBC垂直 PQ面ABC AQ 面ABC PQAQ ABC与PBC均为边长为1的等边三角形 可得ABC与PBC外接圆半径为: 3 3 即 3 3 ANPM 则 3 6 NQMQ 又 OM 面PBC,ON 面ABC 四边形OMNQ是正方形, 3 6 NQMQOMON 在Rt PMO中有: 222 POOMPM 解得: 22 2335 3612 PO 故PABC外接球的半径为 2 5 12 R 球的表面积公式为
20、: 2 55 44 123 SR 故选:A. 【点睛】 本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图 形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 12.设曲线 1 C:1 x m ye (0m )上一点 11 ,A x y,曲线 2 C:lnyx上一点 22 ,B xy,当 12 yy时,对 于任意 1 x、 2 x,都有 2 ABe恒成立,则m的最小值为( ) A. 1 B. e C. 1e D. 2 e1 【答案】D 【分析】 因为 11 ,A x y在曲线 1 C:1 x m ye 上,可得 1 1 1 xm ye ,解得:
21、 11 ln1xym, 22 ,B xy在曲线 2 C:lnyx上,可得 22 lnyx,解得: 2 2 y xe, 结合已知可得: 1 211 ln1 y ABxxeym ,通过 构造函数 ln1 x f xexm,求其最值,即可求得答案. 【详解】 11 ,A x y在曲线 1 C:1 x m ye 上 1 1 1 xm ye ,解得: 11 ln1xym 22 ,B xy在曲线 2 C:lnyx上 22 lnyx,解得: 2 2 y xe 根据曲线 1 C和曲线 2 C图像可知: 21 xx,可得 2 21 xxe 2 211 ln1 y ABxxeym 12 yy,可得 1 211 l
22、n1 y ABxxeym 令 1 yx 则 ln1ln1 xx f xexmexm 111 11 x x ex fxe xx 当0x , 0fx 在0x 上 f x是单调增函数, 01f xfm 即1ABm 要保证 2 ABe恒成立 只需保证 2 1me,即 2 1me m的最小值为: 2 e1. 故选:D. 【点睛】本题考查了根据构造函数求解不等式恒成立问题,解题关键是掌握对数函数和指数函数的基础知识, 和通过构造函数求解不等式恒成立的解法,考查了分析能力和转化能力,属于难题. 二、填空题二、填空题 13.设a,b,c是单位向量,c a,c b ,a,b的夹角为60,则abc_. 【答案】2
23、 【分析】 因 为a,b,c是 单 位 向 量 ,ca,c b ,a,b的 夹 角 为60, 根 据 向 量 数 量 积 公 式 可 得 : 0c a, 0c b , 1 cos60 2 a bab ,求 2 abc的值,即可求得答案. 【详解】 a,b,c是单位向量 1abc 又 ca,c b ,a,b的夹角为60 根据向量数量积公式可得: 0c a, 0c b , 1 cos60 2 a bab 22 22 +2+2+2abcabca ba cb c 1 1 1+1+0+0 4 2abc 故答案为:2. 【点睛】本题考查了求向量的模长,解题关键是掌握向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力
24、,属于基础 题. 14.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我 们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请200名同学,每人随机写下一个都小于1的正实数对 , x y,再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对, x y的个数m;最后再根据统计数 m来估计的值. 假如统计结果是60m那么可以估计_. 【答案】 16 5 （或写成 3.2） 【分析】 由试验结果知200对01之间的均匀随机数 , x y,对应区域的面积为1,两个数能与1构成钝角三角形三边的 数对, x y,满足 22 1xy且 , x y都小1, 1xy,面积为 1 42 ,由
25、几何概型概率计算公式,得出所取的点 在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等,即可求得答案. 【详解】 由试验结果知200对01之间的均匀随机数 , x y,对应区域的面积为1,两个数能与1构成钝角三 角形三边的数对, x y,满足 22 1xy且 , x y都小1, 1xy,面积为 1 42 又几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等, 统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对 , x y的个数60,m 601 20042 解题 16 5 故答案为:16 5 . 【点睛】本题考查了用概率的方法估计圆周率,解题关键是掌握几何型概率计算公式,考查了分析
26、能力和转化 能力,属于中档题. 15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”早在 2000多年 前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们 称这一天是现代足球的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我 们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱已知足球表面中 的正六边形的面为 20个，则该足球表面中的正五边形的面为_个，该足球表面的棱为_条
27、【答案】 (1). 12 (2). 90 【分析】 由题目分析，可设这个足球有正五边形皮子 x 块，则根据题意可得等量关系式：正六边形的块数 3=正五边 形的块数 5，由此可以解出正五边形个数，根据两条边组成一条棱，因此可求棱的条数 【详解】足球每块黑色皮子的 5 条边分别与 5块白色皮子的边缝在一起； 每块白色皮子的 6条边中，有 3 条边与黑色皮子的边缝在一起， 另 3条边则与其他白色皮子的边缝在一起. 所以设这个足球有 x 块正五边形，一共有 5x条边，其中白皮三条边和黑皮相连， 又足球表面中的正六边形的面为 20 个， 根据题意可得方程：520 3x ， 解得12x ， 该足球表面中的
28、正五边形的面为 12 个； 因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱， 所以每条棱由两条边组成， 该足球表面的棱为：12 5+20 6290条. 故答案为：12；90. 【点睛】本题考查列方程解含有未知数的应用题，考查想象能力与转化能力，属于中等题. 16.已知等差数列 n a中,首项 1 2a ,公差0d ,若 123 , n kkkk aaaa成等比数列,且 1 1k , 2 3k , 3 11k ,则数列 n k的通项公式是_. 【答案】 21 21, 3 n n kn N 【分析】 根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比,结合已知,即可求得答案. 【详解】 等差数列 n
29、 a,首项 1 2a ,公差0d , 123 , n kkkk aaaa成等比数列, 且 1 1k , 2 3k , 3 11k 2 3111 aa a, 即 2 (22 )2 (2 10 )dd, 整理可得 2 8420ddd ,即( 3)0d d 解得:3d 或0d (舍去) 31 n an 31 n kn ak 又等比数列 1311 ,a a a的公比为 3 1 8 4 2 a q a 1 312 4 n n kn ak 整理可得: 21 21, 3 n n kn N 故答案为: 21 21, 3 n n kn N. 【点睛】本题考查了求数列的通项公式,解题关键是掌握求数列通项的解题方法
30、,灵活使用等差数列和等比数 列的通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 三、解答题三、解答题 17.ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, , ,a b c且满足cos3cos3cosaBCcbA. （1）求 c b 的值; （2）若角 2 3 C ,4a ,求ABC的周长. 【答案】 （1）3 （2）533 【分析】 （1）由题设及正弦定理得:sincos3cossin3sincos sincosABCACABA 即sin3sinABCA,结合180ABC,即可求得答案; （2）由已知及余弦定理得: 222 24 cos 32 4 bc b ,由（1）3 c b ,即可求得b
31、,进而求得ABC的周长. 【详解】 （1）由题设及正弦定理得: sincos3cossin3sincossincosABCACABA, 整理得sincossincos3sincos3cossinABBACACA, 即sin3sinABCA, 180ABC, sin3sinCB, 由正弦定理得3 c b . （2）由已知及余弦定理得: 222 24 cos 32 4 bc b 由（1）3 c b ,即3cb 将代入可得: 222 491 2 42 bb b 2 240bb , 133 4 b , ABC的周长为 133 4444533 4 abcb . 【点睛】本题考查了根据正弦定理和余弦定理解
32、三角形,解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理,考查了分 析能力和计算能力,属于中档题. 18.如图,在四棱锥PABCD中,PD 平面ABCD,ABCD是平行四边 形,2ACABAD,ACBD、交于点,O E是PB上一点. （1）求证:ACDE; （2）已知二面角APDB的余弦值为 3 4 ,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析（2） 3 13 13 【分析】 （1）将求证ACDE,转换为求证AC 平面PBD,即可求得答案; （2）连OE,在PBD中/ /OEPD,所以OE 平面ABCD分别以OA,OB,OE为x轴,y轴,z轴的正 方向建立空间直角坐标
33、系,求得EC与平面PAB法向量的夹角的余弦值,即可求得答案. 【详解】 （1） PD 平面ABCD, PDAC, 又四边形ABCD为菱形, BDAC,又BDPDD, AC 平面PBD,DE 平面 PBD, ACDE. （2）连OE,在PBD中/ /OEPD,如图: OE 平面ABCD 分别以OA,OB,OE为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设PDt,则1,0,0A,0, 3,0B,1,0,0C ,0,0, 2 t E ,0,3,Pt. 由（1）知,平面PBD的一个法向量为 1 1,0,0n u r , 设平面PAB的一个法向量为 2 , ,nx y z, 2 2 0 0 nAB
34、nAP ,即 30 30 xy xytz , 令1y ,则 2 2 3 3,1,n t , 二面角APBD的余弦值为 3 4 , 12 2 33 cos, 412 4 n n t , 3t , 设EC与平面PAB所成角为, 3 1,0, 2 EC , 2 2 3 3,1, 3 n , 2 33 2 33 sincos,13 1394134 14 4323 EC n . 【点睛】本题考查了异面直线垂直和用向量法求线面角,解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的方法 和用向量法求线面角的解法,考查了计算能力和空间想象能力,属于中档题. 19.在新中国成立七十周年之际,赤峰市某中学的数学课题研究小组
35、,在某一个社区设计了一个调查:在每天 晚上 7:3010:00共 2.5小时内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成人按 10000人计算,每人每 天晚上 7:3010:00 期间打开“学习强国 APP”的概率均为p(某人在某一时刻打开“学习强国”的概率 p 学习时长 调查总时长 ,0 1p ),并且是否打开进行学习是彼此相互独立的.他们统计了其中100名成人每天晚 上浏览“学习强国”的时间(单位:min),得到下面的频数表,以样本中 100 名成人的平均学习时间作为该社区 每个人的学习时间. 学习时长/min 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频数 10
36、 20 40 20 10 （1）试估计p的值; （2）设X表示这个社区每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数. 求X的数学期望E X和方差D X; 若随机变量Z满足 XE X Z D X ,可认为0,1Z N.假设当49505100X时,表示社区处于最佳 的学习氛围,试由此估计,该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度(结果保留为整数). 附:若 2 ,ZN 则 0.6827PZ,220.9545PZ, 330.9973PZ. 【答案】 （1） 1 2 （2）5000E X ,2500D X 123(min) 【分析】 （1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为: 55 0.1
37、65 0.275 0.4 85 0.295 0.175,即可求得答案; （2） 根据题意, 1 10000, 2 XB ,根据E X np,1D Xnpp,即可求得X的数学期望E X和 方差D X. 50001 100 502500 X ZX ,当4950 5100X时,12Z ,0,1ZN,即可求得答 案. 【详解】 （1）该社区内的成人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为: 55 0.1 65 0.275 0.4 85 0.295 0.175(min), 而调查总时长为 150(min),故 751 1502 p . （2）根据题意, 1 10000, 2 XB . 故 1 1000050
38、00 2 E Xnp, 11 1100002500 22 D Xnpp. 50001 100 502500 X ZX , 当49505100X时,12Z ,0,1ZN, 0.95450.6827 1220.95450.8186 2 PZPZ . 故49505100120.8186PZPZ . 估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为150 0.8186123(min). 【点睛】 本题考查了根据频率估计概率,求数据的期望和方差,解题关键是掌握统计学的基础知识和掌握期望, 方差的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 20.已知椭圆E: 22 22 1 xy ab (0ab)经过点
39、6,0A和2,1B . （1）求椭圆E的标准方程; （2）过1,0P的直线MN交椭圆E于,M N两点,若 ,m n分别为BM BN 的最大值和最小值,求mn的 值. 【答案】 （1） 22 1 63 xy （2） 13 2 【分析】 （1）由椭圆E: 22 22 1 xy ab 的右顶点为 6,0A,得 2 6a ,又椭圆E: 22 22 1 xy ab 过点 2,1B ,则 2 41 1 6b ,解得 2 3b ,即可求得答案. （2）当直线 MN 斜率存在时,设 MN的方程为1yk x, 11 ,M x y, 22 ,N xy, 由 22 1 63 1 xy yk x 消掉y得 2 22
40、216xkx,根据韦达定理,结合已知条件,即可求得答案. 【详解】 （1） 由椭圆E: 22 22 1 xy ab 的右顶点为 6,0A, 2 6a , 又 椭圆E: 22 22 1 xy ab 过点 2,1B , 2 41 1 6b ,解得 2 3b 椭圆E的标准方程为: 22 1 63 xy . （2）当直线 MN 斜率存在时, 设 MN 的方程为1yk x, 11 ,M x y, 22 ,N xy, 由 22 1 63 1 xy yk x 消掉y得 2 22 216xkx, 即 2222 124260kxk xk, 1,0在椭圆内部, 根据韦达定理可得: 2 12 2 2 12 2 4
41、12 26 21 k xx k k x x k 1212 2211BM BNxxyy 121212 2411x xxxkxkkxk 222 1212 1225kx xkkxxkk, 将代入得: 22 222 22 264 1225 2121 kk BM BNkkkkk kk , tBM BN , 2 2 1521 21 kk t k , 2 152210t kkt ,kR, 2 24 15210tt 215110tt , 即 2 213160tt , 又 ,m n是 2 213160tt两个根, 13 2 mn, 当直线 MN 斜率不存在时,联立 22 1 63 1 xy x 得 10 2 y
42、 , 不妨设 10 1, 2 M , 10 1, 2 N , 10 3,1 2 BM , 10 3,1 2 BN , 1015 91 42 BM BN , 可知 15 2 nm. 综上所述: 13 2 mn. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程和椭圆中的最值问题,解题关键是掌握椭圆的基础知识和在求圆锥曲 线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的 关系式,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 21.已知函数 2 ln1 1 x e axax x f x ,a为常数,当 1,3x时, f x有三个极值点 1 x, 2 x, 3 x(其 中 123 xxx). （1）求实数a的取值范围; （2）求证: 1313 x x
