1、实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程九年级数学上册九年级数学上册 学习目标：学习目标：1能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二 次方程；次方程；2进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应 用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提 高数学应用意识高数学应用意识 学习重点：学习重点：利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实利用面积之间的关系建立一元二次方程模型，解决实际问题际问题1创设情境，导入新知创设情境，导入新知问题问题1要设计一本书的封面，封面长
2、要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？应如何设计四周边衬的宽度？2721还有其他方法列出方程吗？还有其他方法列出方程吗？方法一方法一1创设情境，导入新知创设情境，导入新知2721解：可设四周边衬的宽度为解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面，则中央矩形的面积可以表示为积可以表示为 （）（）27-2x 21-2x（）（）27-2x 21-2x2127
3、212741方法二方法二1创设情境，导入新知创设情境，导入新知利用未知数表示边长，通过面利用未知数表示边长，通过面积之间的等量关系建立方程解决问积之间的等量关系建立方程解决问题题2721解：可设四周边衬的宽度为解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面，则中央矩形的面积可以表示为积可以表示为 （）（）27-2x 21-2x（）（）27-2x 21-2x2127432动脑思考，解决问题动脑思考，解决问题问题问题2 要设计一本书的封面，封面要设计一本书的封面，封面长长 27 cm，宽宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果
4、要使果要使四周的彩色边衬所占面积四周的彩色边衬所占面积是是封面面积封面面积的的四分之一四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度衬的宽度（结果保留小数点后一位）（结果保留小数点后一位）？分析：分析：封面的长宽之比是封面的长宽之比是9 7，中央的矩形的长宽之比也，中央的矩形的长宽之比也应是应是 9 727219a7a设中央的矩形的长和宽分别设中央的矩形的长和宽分别是是 9a cm和和 7a cm，由此得上、下，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是边衬与左、右边衬的宽度之比是（）（）27-9a 21-7a =9 7.212
5、1整理得：整理得：16y 2-48y+9=0解法一：解法一：设上、下边衬的宽均为设上、下边衬的宽均为 9y cm，左、右边，左、右边衬宽均为衬宽均为 7y cm，依题意得，依题意得方程的哪个根合乎实际意义？为什么？方程的哪个根合乎实际意义？为什么？2动脑思考，解决问题动脑思考，解决问题解方程得解方程得4336y4336y4327549y4321427y1.8 cm，1.4 cm（）（）27-18y 21-14y212743解法二：解法二：设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm，依题意得依题意得故故上、下边衬上、下边衬的宽度为：的宽度为：2动脑思考，解决问题动脑
6、思考，解决问题21274379xx解得：，（不合题意，舍去）解得：，（不合题意，舍去）2331x2332x左、右边衬左、右边衬的宽度为：的宽度为：22339272927x4327541.8 cm，（）22337212721x4321421.4 cm（）1 1用用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形,若若能够能够,求它的长与宽求它的长与宽;若不能若不能,请说明理由请说明理由.【解析解析】设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,xcm,则宽为则宽为 cm,cm,即即x x2 2-10 x+30=0-10 x+30=0这里这里a=1,b=a=
7、1,b=10,c=30,10,c=30,此方程无解此方程无解.用用20cm20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形.跟踪训练2.2.某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长3232米米,宽宽2020米的长方形米的长方形场地上修筑若干条道路场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并请全校同学参并请全校同学参与设计与设计,现在有两位学生各设计了一种方案现在有两位学生各设计了一种方案(如图如图),),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少求图中道路的宽分别是多少?使图使图(1),(2)
8、(1),(2)的草坪面积为的草坪面积为540540米米2 2.(1)(1)(2)(2)(1)(1)【解析解析】（1)1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，则则化简得，化简得，其中的其中的 x=25x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)(1)中道路的宽为中道路的宽为1 1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 （2）解析：）解析：此题的相等关系是矩此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于形面积减去道路面积等于540540米米2 2.解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2,纵向的路面面积为纵向的
9、路面面积为 20 x 20 x 米米2 2.注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是x x2 2,所列的方程是不是所列的方程是不是？图中的道路面积不是图中的道路面积不是米米2 2.(2)(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是m m2 2所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2x=2时，时，道路总面积为：道路总面积为：草坪面积草坪面积=32=3220-100=540 20-100=540（米（米2 2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2
10、2米米.解法二：解法二：我们利用我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改图形经过移动，它的面积大小不会改变变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）原图的位置修路）(2)(2)横向路面横向路面:如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2纵向路面面积为纵向路面面积为:2020 x米米2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向草坪矩形的宽（纵向:）为：）为：相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪
11、宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即化简得：化简得：再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同相同.1.1.如图是宽为如图是宽为2020米米,长为长为3232米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同样宽要修筑同样宽的三条道路的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),),把耕地分把耕地分成六块大小相等的试验地成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为要使试验地的面积为570570平方平方米米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解析解析:设道路宽为设道路宽为x x米，米，化简得，化简得，其中的其中的 x=35x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1 1米米.则则
