1、广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 1 页 / 共 4 页 广深珠三校广深珠三校 20202020 届高三第一次联考届高三第一次联考 文科文科数学数学试卷试卷 时间：120 分钟 满分：150 分 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分 1集合 |(1)(2)0Axxx，集合 |lg0Bxx，则AB= A21 , B0 1 , C 0 1 , D2 1 , 2下列函数中，既是奇函数，又在0, 2 上单调递增的是 A2sin x yx B 1 2 2 x x y Csinyxx Dcosyxx 31748 年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出
2、以下公式cossin ix exix， 这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据此公式可知， 2i e表示的复数所对 应的点在复平面中位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4过点(0,1)的直线l被圆 22 (1)4xy所截得的弦长最短时，直线l的斜率为 A1 B1 C2 D2 5下列说法中，错误的是 A若命题:pxR ， 2 0x ，则命题 2 00 :,0pxR x B “ 1 sin 2 x ”是“ 5 6 x ”的必要不充分条件 C “若4ab ，则a，b中至少有一个不小于 2”的逆否命题是真命题 D函数2sin(2) 3 yx 的图象关于
3、3 x 对称 6已知各项均为正数的等差数列 n a的公差为 2，等比数列 n b的公比为2，则 A 1 4 nn aa bb B 1 4 nn aa bb C 1 4 n n a a b b D 1 4 n n a a b b 7函数 2 ( )() x f xxx e 的图象大致是 A B C D 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 2 页 / 共 4 页 8已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 1 2 nn aS ，则 9 a的值为 A. 768 B. 384 C. 192 D. 96 9等差数列 n a的前n项和为 n S，若公差0d ， 8595
4、 ()()0SSSS，则 A. 7 0a . B 78 aa C 78 aa D 78 aa 10过抛物线 2 4yx的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若3AF ，则AOB 的面积为 A. 2 2 B. 2 C. 3 2 2 D2 2 11函数( )lnf xxx，正确的命题是 A值域为 B在 是增函数 C有两个不同的零点 D过点的切线有两条 12如图，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，且3PA ,2PB ，1PC 设M是底面ABC 内一点， 定义()(f Mm，n，)p， 其中m、n、p分别是三棱锥MPAB、 三棱锥MPBC、 三棱锥MPCA 的体积
5、若 1 ()( 2 f M ，x，) y，且 1 8 a xy 恒成立，则正实数a的最小值为 A1 B2 C3 D4 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知函数 1 2 35,(1) ( ) 1,(1) xx f x log xx ，则( (2 2)f f _ 14已知双曲线C： 2 2 1 8 y x 的左右焦点分别是 1,2 F F，过 2 F的直线l与C的左右两支分别交于,A B两 点，且 11 AFBF，则AB=_ 15已知曲线 3 2 ( ) 3 f xx在点1,(1)f处的切线的倾斜角为，则 22 2 sincos 2sincoscos 的值为 _ 16已知函数(
6、)(ln ) x e f xk xx x ，若( )f x只有一个极值点，则实数k的取值范围是_ 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 3 页 / 共 4 页 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知5b ，()sin2 sin()abAbAC （1）证明：ABC为等腰三角形； （2）点D在边AB上，2ADBD，17CD ，求AB 18(12 分）已知某班的 50 名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表： 时间长（小时） 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,
7、25 女生人数 4 11 3 2 0 男生人数 3 17 6 3 1 （1）求这 50 名学生本周使用手机的平均时间长； （2）时间长为0,5)的 7 名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率； （3）若时间长为0,10)被认定“不依赖手机” ，10,25被认定“依赖手机” ，根据以上数据完成22列联 表： 能否在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？ 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：
8、 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd ） 19 (12 分） 在四棱锥PABCD中，/ADBC， 1 1 2 ADABDCBC，E是PC的中点， 面PAC 面ABCD. （1）证明：/ /EDPAB面； （2）若2PBPC，求点P到面ABCD的距离. 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 男生 总计 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 4 页 / 共 4 页 20(12 分）设 1 F、 2 F分别是椭圆 2 2 1 4 x y的左、右焦点 （1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且 12 5 4 PF PF ，求点P的坐标；
9、 （2）设过定点(0,2)M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点） ， 求直线l的斜率k的取值范围 21(12 分）已知( )ln x e f xaxax x （1）若0a ，讨论函数( )f x的单调性； （2）当1a 时，若不等式 1 ( )()0 x f xbxbex x 在1，)上恒成立，求b的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。做答时用题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡铅笔在答题卡 上把所选题目的题号涂黑。上把所选题目的题号涂黑。 22 选修 4-
10、4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C：340xy，曲线 2 C： cos 1 sin x y （为参数） ，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）曲线 3 C： cos sin xt yt （t为参数，0t ，0 2 ）分别交 1 C， 2 C于A，B两点，当取何值 时， OB OA 取得最大值. 23选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 函数( ) |1|f xxxa的图象关于直线2x 对称 （1）求a的值； （2）若 2 ( )f xxm的解集非空，求实数m的取值
11、范围 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 5 页 / 共 4 页 广东省三校协作体广东省三校协作体 20202020 届高三联考届高三联考 文科文科数学数学参考答案参考答案 一、选择题（每题一、选择题（每题 5 分，共分，共 60 分）分） 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 C C B B B B A A D D C C A A B B D D C C B B A A 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 5 2 144 15 3 5 16 ,e 三
12、、解答题（第三、解答题（第 1717 题题 1010 分，分，1818- -2222 题每题题每题 1212 分分，共共 7070 分）分） 17 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）()sin2 sin()2 sinabAbACbB，1分 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得： 2 ()2a abb，整理可得(2 )()0ab ab， 20ab， ab，ABC为等腰三角形，得证6分 （2）设BDx，则2ADx， 由余弦定理可得： 2 41725 cos 2217 x CDA x ， 2 1725 cos 217 x CDB x ，10分 CDACDB， 22 417251
13、725 2217217 xx xx ，解得：2x ， 6AB12分 18【解答】 （本题满分为 12 分） 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 6 页 / 共 4 页 .（1） 1 (2.5 77.5 28 12.5 9 17.5 522.5 1)9 50 ， 所以，这 50 名学生本周使用手机的平均时间长为 9 小时 3 分 （2）时间长为0,5)的有 7 人，记为A、B、C、D、E、F、G，其中女生记为A、B、C、D， 从这 7 名学生中随机抽取两名的基本事件有：,A B，,A C，,A D，,A E，,A F，,A G， ,B C，,B D，,B E，,B F，,B
14、 G，,C D，,C E，,C F，,C G，,D E，,D F， ,D G，,E F，,E G，,F G共 21 个5 分 设事件M表示恰有一位女生符合要求的事件有：,A E，,A F，,A G，,B E，,B F，,B G， ,C E，,C F，,C G，,D E，,D F，,D G共 12 个6 分 所以恰有一个女生的概率为 24 () 217 P M 7 分 （3） 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 15 5 20 男生 20 10 30 总计 35 15 50 9 分 2 2 50(15 105 20) 0.3972.072 15 35 20 30 K ，11 分 不能在犯错概率不超
15、过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系12 分 19【解答】 （本题满分为 12 分） 解法一：解法一： 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 7 页 / 共 4 页 E A D B C K P H （）证明：取PB的中点F，连接,AF EF. （1 分） 因为EF是PBC的中位线，所以 1 / / 2 EFBC. （2 分） 又 1 / / 2 ADBC，所以/ /ADEF，所以四边形ADEF是平行四边形. （3 分） 所以/DEAF，又,DEABP 面,AFABP 面所以/ /EDPAB面. （5 分） （）取BC的中点M，连接AM，则/ /AD MC，
16、所以四边形ADCM是平行四边形. 所以AMMCMB，所以A在以BC为直径的圆上. （6 分） 所以ABAC，可得3AC . （7 分） 因为面PAC 面ABCD，且面PAC面ABCD=AC， 所以AB 面PAC， （8 分） 即ABPA，可得3PA . （9 分） 在面PAC内做PHAC于H，又面PAC 面ABCD，且面PAC面ABCD=AC，所以PH 面 ABCD. （10 分） 由余弦定理可得 222 1 cos 23 PACAPC PAC PA CA ，所以 2 2 sin 3 PAC.（11 分） 2 6 sin 3 PHPAPAC，即P到面ABCD的距离为 2 6 3 . （12 分
17、） 解法二：解法二： （）证明：延长,BA CD交于点K，连接PK. （1 分） 因为 1 / / 2 ADBC，所以AD是KBC的中位线. （2 分） 1KAKD，所以ED是KPC的中位线， 所以/EDPK. （3 分） 又,DEABP 面,AFABP 面所以/ /EDPAB面. （5 分） （）易得KBC是等边三角形，所以ABAC. （6 分） 因为面PAC 面ABCD，且面PAC面ABCD=AC， 所以AB 面PAC，所以ABPA. （7 分） 所以=2PBPK，三棱锥PKBC是正四面体. （8 分） 所以P在底面KBC的投影H是底面的中心，可得 2 3 3 CH . （10 分） 22
18、 2 6 3 PHPCCH，P到面ABCD的距离为 2 6 3 . （12 分） 20.【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （）易知2a ，1b ，3c F E A D P C B M H 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 8 页 / 共 4 页 1( 3,0)F ， 2( 3,0) F设( , )P x y(0,0)xy则 22 12 5 (3,)( 3,)3 4 PF PFxyxyxy ， 2 分 又 2 2 1 4 x y，联立 22 2 2 7 4 1 4 xy x y ，解得 2 2 1 1 33 42 x x yy ， 3 (1,) 2 P 5 分 （
19、）显然0x 不满足题设条件可设l的方程为2ykx，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 联立 2 2 2222 1 4(2)4(14)16120 4 2 x y xkxkxkx ykx 12 2 12 14 x x k ， 12 2 16 14 k xx k 6 分 由 22 (16 )4 (14) 120kk 22 163(14)0kk， 2 430k ，得 2 3 4 k 7 分 又AOB为锐角cos00AOBOA OB， 1212 0OA OBx xy y 8 分 又 2 12121212 (2)(2)2 ()4y ykxkxk x xk xx 1212 x xy y 2
20、 1212 (1)2 ()4kx xk xx 2 22 1216 (1)2()4 1 41 4 k kk kk 2 22 12(1)216 4 1414 kkk kk 2 2 4(4) 0 14 k k 2 1 4 4 k 10 分 综可知 2 3 4 4 k，k的取值范围是 33 ( 2,)(,2) 22 12 分 21.【解答】 （本题满分为 12 分） （1）( )f x的定义域为(0,) （1 分） 2 (1)() ( ),0 x xeax fxa x ，（2 分） 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 9 页 / 共 4 页 当(0,1)x时，( )0fx；(1,
21、)x时，( )0fx， 函数( )f x在(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增 （4 分） （2）当1a 时， 1 ( )()(1) xx f xbxbexb xelnx x ， 由题意，(1)0 x b xelnx在1，)上恒成立 若0b，当1x时，显然有(1)0 x b xelnx恒成立；不符题意 若0b ，记( )(1) x h xb xelnx，则 1 ( ) x h xbxe x （7 分） 显然( )h x在1，)单调递增， 当 1 b e 时，当1x（3）时，( )h xh（1）1 0be （4） 1x ，)时，( )h xh（1）0 （8 分） 当 1 0b e （6）
22、， h （1）1be （7）0， 1 1 ( )10 b hebe b （8） 存在 0 1x ，使( )0h x（9 分） 当 0 (1,)xx时，( )0h x， 0 (xx，)时，( )0h x， ( )h x在 0 (1,)x上单调递减；在 0 (x，)上单调递增 （10 分） 当 0 (1,)xx时，( )h xh（1）0，不全题意（11 分） 综上所述，所求b的取值范围是 1 ,) e 22. 参数方程参数方程 （本题满分为 10 分） 解： （）因为cosx，siny， 222 xy， 1 C的极坐标方程为3 cossin40，2 分 2 C的普通方程为 2 2 11xy，即 2
23、2 20xyy，对应极坐标方程为2sin.4 分 （）曲线 3 C的极坐标方程为（0，0 2 ） 设 1, A ， 2, B ，则 1 4 3cossin ， 2 2sin，5 分 所以 2 1 OB OA 1 2sin3cossin 4 1 3sin2cos21 4 1 2sin 21 46 ，8 分 广深珠三校 2020 届高三第一次联考 文科数学试题 第 10 页 / 共 4 页 又0 2 ， 5 2 666 ， 所以当2 62 ，即 3 时， OB OA 取得最大值 3 4 .10 分 23. 不等式选讲不等式选讲 （本题满分为 10 分） 解： （）由函数( ) |1|f xxxa的
24、图象关于直线2x 对称，则( )(4)f xfx恒成立， 令0x 得(0)ff（4） ，即| 2 |4|aa ， 等价于 0 24 a aa ，或 04 24 a aa ，或 4 24 a aa ； 解得3a ， 此时( ) |1|3|f xxx， 满足( )(4)f xfx，即3a ；5 分 （）不等式 2 ( )f xxm的解集非空，等价于存在xR使得 2 ( )f xxm成立， 即 2 ( )maxmf xx，设 2 ( )( )g xf xx， 由（）知， 2 2 2 24,1 ( )2,13 24,3 xxx g xxx xxx ，7 分 当1x时， 2 ( )24g xxx ，其开口向下，对称轴方程为1x ， ( )( 1)1245g xg ；10 分
