1、 5.4.2 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质新高考新教材 【提问提问1 1】根据以前研究函数的经验，根据以前研究函数的经验，都有哪些性质可以研究？定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(极值)等等另外，三角函数是刻画“周而复始”现角的数模型，所以三角函数还要研究周期性 定义域都是R，值域都是-1，1【提问提问2 2】正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？一、周期性 在图像上，横坐标每隔2个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.xkxsin)2sin(由诱导公式可得，即自变量 的值加上2的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学上用周
2、期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.，都有，使得对每一个存在一个非零常数定义域为一般地，设函数D,)(TxDxTDxf),()(xfTxf且叫做这个函数的周期常数就叫做周期函数，非零那么函数Txf)(都是正弦函数的周期。，以及，个，例如周期函数的周期不止一6-4-2-642都是它的周期常数且事实上，kkzk2,0的最小正期就叫做小正数小的正数，那么这个最所有周期中存在一个最如果在周期函数)()(xfxf2)0(2周期为都是它的周期，最小正且正弦函数是周期函数，kzkk2)0(2周期为都是它的周期，最小正且余弦函数是周期函数，kzkk附：今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，都是指最小正
3、周期课本第203页第1题xysin312）（、求下列函数的周期例xxRxsin3)2sin(3,1有）解：（2，原函数的周期为由周期函数的定义可知2cos,22的周期为且得由）令（zyRzRxxzxxzz2cos)22cos(,cos)2cos(即Rxxx,2cos)(2cos所以，原函数的周期为由周期函数的定义可知xy2cos)2()621sin(2)3(xy2sin2,6-213的周期为且得由）令（zyRzRxxzzzsin)2sin(即),6-21sin(2)26-21sin(2xx于是),6-21sin(26-)4(21sin2xx所以，4，原函数的周期为由周期函数的定义可知 思考：回
4、顾例2的解答过程中，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？前的系数有关与自变量x2)cos()()cos()(TxAxfxAxf的周期为也成立，即同理，对于2)sin()(TxAxf的周期为即函数课本第203页第2题38432,431T）解：（242,42T）（22,23T）（6312,314T）（2T二、奇偶性正弦函数的图象关于原点对称)(sin)sin()(xfxxxf是奇函数xxfsin)(余弦函数的图象关于y轴对称)(cos)cos()(xfxxxf是偶函数xxfcos)(课本第203页第3题0)11()1()21()3(2fff解：41)123()23()223()27(2f
5、ff课本第203页第4题 由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.三、单调性 可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升，的值由-1增大到1.当 由 增大到 时，曲线逐渐下降，的值由1减小到-1.上单调递减，上单调递增，在区间，在区间正弦函数2322-2-sinxy由正弦函数的周期性可得正弦函数的增区间：正弦函数的减区间：)(22,22zkkk其值从-1增大到1)(223,22zkkk其值从1减少到-1三、单调性上单调递减，上单调递增，在区间，在区间余弦函数00-cos xy 由于余弦函数是周期函数，我们可以先在它
6、的一个周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.,可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升，的值由-1增大到1.0 xcos 当 由 增大到 时，曲线逐渐下降，的值由1减小到-1.0 xcos由余弦函数的周期性可得余弦函数的增区间：余弦函数的减区间：)(2,2zkkk其值从-1增大到1)(2,2zkkk其值从1减小到-1四、最大值和最小值23,2,sinxxy12有最大值时，当yx1-2-有最小值时，当yx由正弦函数的周期性可得1)22,sin时，取得最大值（当且仅当正弦函数zkkxxy1)22-,sin时，取得最小值（当且仅当正弦函数zkkxxy四、最大值
7、和最小值10有最大值时，当yx 1-有最小值时，当yx由正弦函数的周期性可得1)2,cos时，取得最大值（当且仅当余弦函数zkkxxy,cosxxy1-)2,cos时，取得最小值（当且仅当余弦函数zkkxxy例3、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值，最小值时自变量x的集合，并求最大值，最小值Rxxy,1cos1）、（，有最大值时，（解：当1cos)2xzkkx21cos有最大值此时，xy，有最小值时，1cos)(2-xzkkx01cos有最小值此时，xy21cos,2|有最大值所以，当xyzkkxxx01cos,2|有最小值当xyzkkxxxRxxy,2sin32）、（，有最大
8、值时，（即解：当12sin)4,222xzkkxkx32sin3有最大值此时，xy3-2sin3有最小值此时，xy3-2sin3-,4|有最小值所以，当xyzkkxxx32sin3-,24-|有最大值当xyzkkxxx，有最小值时，（即当12sin)4,222xzkkxkx分析：1、同一函数可以利用单调比较大小。2、必须化在同一单调区间比较018102-1）解：（是单调递增在区间又0,2-sinxy)10sin()18in(s53cos)534cos(523cos523cos2）解：（4cos)44cos(417cos417cos5340上单调递减，在区间又0cosxy)417cos()523
9、cos(53cos4cos即递增在相应区间上一定单调则在某区间上递增，的值也增大。函数增大时，当自变量分析：令)321sin(sin321xyzyzxxz3,352,2),321sin()(的单调递增区间xxxf34,322,2.321zxxz解：令2,234,32,sin的单调递增区间因为zzy23212x由335x得递增在相应区间上一定单调则在某区间上递减，的减小。函数增大时，当自变量分析：令)321-sin(sin321-xyzyzxxz34,322,2.321-zxxz解：令3422-,3234,32,sin，的单调递减区间因为zzy34321-22-321-32xx或由232-35xx或得2,32-,352,2),321-sin()(，的单调递增区间 xxxf
