1、1.41.4充分条件与必要条件课标阐释思维脉络1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.(数学抽象)2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.(逻辑推理)3.掌握证明充要条件的一般方法.(逻辑推理)激趣诱思知识点拨著名童话爱丽丝漫游奇境记的作者,英国剑桥大学数学讲师卡洛尔曾提出如下趣题:如果已经知道以下信息:室内所有有日期的信都是用蓝纸写的;玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;除了查理以外没有人用黑墨水写信;我可以看到的信都没有收藏起来;只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期;未作记号的信都是用黑墨水写的;用蓝纸写的信都收藏起来了;一页以
2、上信纸的信中,没有一封是做记号的;以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的.请判断:我是否可以看玛丽的信?结论是什么呢?学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了.激趣诱思知识点拨知识点一、充分条件与必要条件一般地,“若p,则q”为真命题,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.名师点析 1.在逻辑推理中“pq”的几种说法(1)“如果p,那么q”为真命题.(2)p是q的充分条件.(3)q是p的必要条件.(4)p的必要条件是q.(5)q的充分条件是p.这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.激趣诱思知识点拨2.对充分条件的理解:(1)充分条件是某一个结论成立应
3、具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6x2=36,但是,当x6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.3.对必要条件的理解:(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.激趣诱思知识点拨微思考(1)已知“若p,则q”为真命题,说明p与q之间有什么关系?提示
4、:说明当p成立时,一定能得出q成立.即由p通过推理可以得出q.这时我们就说,由p可以推出q,记作pq.(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?提示:说明由条件p不能推出结论q,记作p q.微练习用“充分条件”和“必要条件”填空:(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的,q是p的.(2)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的,q是p的.答案:(1)充分条件必要条件(2)必要条件充分条件激趣诱思知识点拨知识点二、充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有pq,又有qp,就记作pq.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要
5、条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.名师点析 1.对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.激趣诱思知识点拨2.常见的四种条件与命题真假的关系如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:激趣诱思知识点拨微思考(1)我们知道,当“x1”成立时,能推出“x0”.那么“x0”的充分条件是否只能是“x1”?提示:不是.使结论“x0”成立的条件并不唯一,如“x1.2”,“30”是“x1”的必要条件.那么“x1”的必要条件是否只能是“x0”?提示:不是.例如“
6、x1”还能推出“x-1”“x ”等,这些都是“x1”成立的必要条件.激趣诱思知识点拨微练习实数a,b,c不全为0的一个充要条件是()A.实数a,b,c均不为0B.实数a,b,c中至多有一个为0C.实数a,b,c中至少有一个为0D.实数a,b,c中至少有一个不为0答案:D探究一探究二探究三当堂检测充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断例1(1)判断下列各题中,p是否是q的充分条件:p:aQ,q:aR.p:ab,q:1,q:x21.p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.在ABC中,p:AB,q:BCAC.已知a,bR,p:a2+b2=0,q:a=b=0.探究一探究二探究三当堂检测(2
7、)判断下列各题中,q是否是p的必要条件:p:|x|=|y|,q:x=y.p:ABC是直角三角形,q:ABC是等腰三角形.p:-2x5,q:-1x5.p:a是自然数,q:a是正整数.分析(1)逐个判断“若p,则q”是否为真命题.(2)逐个判断“若p,则q”是否为真命题.探究一探究二探究三当堂检测解:(1)由于QR,所以pq,所以p是q的充分条件.因此p q,所以p不是q的充分条件.由x1可以推出x21.因此pq,所以p是q的充分条件.设A=a|(a-2)(a-3)=0,B=3,则BA.因此p q,所以p不是q的充分条件.由三角形中大角对大边可知,若AB,则BCAC.因此,pq,所以p是q的充分条
8、件.因为a,bR,所以a20,b20,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即pq,所以p是q的充分条件.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:确定谁是条件,谁是结论.尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.(2)命题判断法:如果“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1(1)对任意
9、实数a,b,c,在下列命题中,真命题是()A.“acbc”是“ab”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“acbc”是“ab”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件(2)命题“已知nZ,若a=4n,则a是偶数”中,“a是偶数”是“a=4n”的条件,“a=4n”是“a是偶数”的条件(用“充分”或“必要”填空).探究一探究二探究三当堂检测(2)命题“已知nZ,若a=4n,则a是偶数”是真命题,所以“a是偶数”是“a=4n”的必要条件,“a=4n”是“a是偶数”的充分条件.答案:(1)B(2)必要充分探究一探究二探究三当堂检测充分不必要条件、必要不充分条件的判断充分不必
10、要条件、必要不充分条件的判断例2用“充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要”填空.分析利用“若p,则q”,“若q,则p”的真假判断.探究一探究二探究三当堂检测答案:(1)充分不必要(2)既不充分也不必要 探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 充分不必要条件、必要不充分条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件,实际上是判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假,若“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,则p为q的充分不必要条件;若“若p,则q”为假,“若q,则p”为真,则p为q的必要不充分条件;若“若p,则q”为真,“若q,则p”为真,则p为q的充要条件;若“若p,则q”,“若q,则p”均为
11、假,则p为q的既不充分也不必要条件.(2)在判断时注意反例法的应用.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2判断下列各题中,p是否为q的充要条件:若a,bR,p:a2+b2=0,q:a=b=0;p:|x|3,q:x29.解:若a2+b2=0,则a=b=0,即pq;若a=b=0,则a2+b2=0,即qp,故pq,所以p是q的充要条件.由于p:|x|3q:x29,所以p是q的充要条件.探究一探究二探究三当堂检测充要条件的证明充要条件的证明例3(1)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.(2)求证:方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0.分析从充分性和
12、必要性两个方面证明.探究一探究二探究三当堂检测证明:(1)充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a12+b1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1a+b+c=0,从而a+b+c=0方程ax2+bx+c=0有一个根为1,因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.探究一探
13、究二探究三当堂检测(2)充分性:当f(1)=0时,即x=1代入f(x)=0,等式成立,f(1)=0是f(x)=0的充分条件;必要性:当f(x)=0有一根为1时,即(1,0)为y=f(x)与x轴的一个交点,f(1)=0,f(1)=0是f(x)=0的必要条件.综上所述,方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 充要条件的证明:(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p的充要条件是q,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究 将本例(1)的
14、条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac0”,如何判断?证明:充分性:因为ac0,方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根,由根与系数关系可知这两个根的积为 0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以ac0方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为 0,所以ac0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根ac0,从而ac0方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,因此方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0对于一切
15、实数x都成立的充要条件是0a0”是“a20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:设A=a|a0,B=a|a0=a|a0,或a0推出a20;而a20不能推出a0,所以“a0”是“a20”的充分不必要条件.答案:A探究一探究二探究三当堂检测3.“2x+30”是“2x-60”的条件.答案:充分不必要探究一探究二探究三当堂检测4.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明:充分性:因为ac0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性:一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=0,即ac0,综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.
