1、1.4.2 充要条件思考 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则（4）若 是空集，则 与 均是空集.20axbxc0ac ABAB定义 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件pqqppq说明 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。概况地说，如果 ，那么p与q互
2、为充要条件pq常见的四种条件与命题真假的关系如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分（2）p:两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例（3）p：xy0,q:x0,y0（4）p：x=1是一元二次方程 的一个根，q：a+b+c=0()20axbxc0a 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分（2）p:两个三角形相似，q：
3、两个三角形三边成比例（3）p：xy0,q:x0,y0（4）p：x=1是一元二次方程 的一个根，q：a+b+c=0()20axbxc0a P不是不是q的充要条件的充要条件P是是q的充要条件的充要条件P不是不是q的充要条件的充要条件P是是q的充要条件的充要条件探究 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？探究 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？例2 已知：的半径为 ，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与 相切的充要条件.OrO例2 已知：的半径为 ，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与 相切的充要条件.证明：设p：d=r，q:直
4、线l与圆O相切（1）充分性（）：如图，作 于点P,则 .若 ，则点 在圆O上.在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ.在 中OrOpqOPlOPddrPRt OPQ OQOP=r.所以，除去点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线l与圆O仅有一个公共点P.所以直线l与圆O相切.(2)必要性（）：若直线l与圆O相切，不妨设切点为P,则 .因此，由（1）（2）可得，是直线与圆O相切的充要条件.qpOPldOPrdr充要条件的探求例例3求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.分析:首先讨论二次项的系数a是否为零,在a0时,利用判别式和根与系数的关系求解.解:由于二次项系数是字母,因此,首先要对方程ax2+2x+1=0判定是一元一次方程还是一元二次方程.(1)当a=0时,为一元一次方程,其根为x=-,符合要求;(2)当a0时,为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式0即4-4a0从而a1;反思感悟 求充要条件的方法 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求转化时思维要缜密.提醒p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.课堂小结 集合的视角
