1、2.2.1 基本不等式基本不等式复习回顾复习回顾 a,bRR，有a 2+b2 2ab当且仅当a b时，等号成立重要不等式：重要不等式：如果我们用如果我们用 分别代替上式中的分别代替上式中的 a,b,可得到可得到_.通常把上式写作：通常把上式写作：ba,）（0,02baabba当且仅当当且仅当a b时，等号成立时，等号成立(0,0).2ababab a,bRR，有a 2+b2 2ab(0,0).2ababab你能用不等式的性质直接推导吗？你能用不等式的性质直接推导吗？我们把上述不等式称为我们把上述不等式称为基本不等式基本不等式.算术平方根算术平方根几何平方根几何平方根2abab证明：证明：要证要
2、证 只要证只要证.ab要证，只要证要证，只要证0ab要证，只要证要证，只要证2()0显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=ba=b时时,中的等中的等号成立号成立.2 abab2 ab 如图如图,AB,AB是圆的直径，是圆的直径，C C是是ABAB上任一点，上任一点，AC=a,CB=b,AC=a,CB=b,过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DEDE，连接连接AD,BD,AD,BD,你能利用这个你能利用这个图形，得出基本不等式的几图形，得出基本不等式的几何解释？何解释？如图，可证如图，可证ACDACD DCBDCB，则则CD=CD=_,半径为半径为_，CDCD小于或等于圆的半
3、径，用小于或等于圆的半径，用不等式表示为不等式表示为_.ab2abab2ab 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a b时，上述不等式的等号成立.适用范围文字叙述 两数的平方和不两数的平方和不小于他们积的两倍小于他们积的两倍 两个正数的算两个正数的算术平均数不小于他术平均数不小于他们的几何平均数们的几何平均数“=”成立的条件a=b试比较重要不等式与基本不等式的异同：试比较重要不等式与基本不等式的异同：abba2222baaba，bRRa，b00例 已知x 0，求 的最小值.xx1例 已知x 0，求 的最小值.xx121210 xxxxx所以因为解：解：2,11小值为等号成立，因此所求最时，即当且
4、仅当xxx例2 已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P，那么当x=y时，和 x+y有最小值 ；（1）如果和 x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 .P2241Sxyyxyx2,都是正数，所以因为，时，有等于定值）当积（PyxPxy21Pxy2所以证明：证明：.2.Pyxyxyx有最小值时，和于是，当时，上式等号成立当且仅当，时，有等于定值）当和（22SxySyx,412Sxy 所以.41.2Sxyyxyx有最大值时，积于是，当时，上式等号成立当且仅当利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a(1)a，
5、b b必须必须是是正数正数.（一正）（一正）(2)(2)在在a+ba+b为定值时，便可以知道为定值时，便可以知道abab的最大值；的最大值；在在abab为定值时，便可以知道为定值时，便可以知道a+ba+b的最大值的最大值.（二定）（二定）(3)(3)当且仅当当且仅当a=ba=b时，等式成立时，等式成立（三相等）（三相等）.2,2baabRba，求证：已知.2,2baabRba，求证：已知22222,4,2,2,baababbaababbaRba即得两边同时加上，证明：证明：2)1(,xyyxyxyx，求证：都是正数且已知 xyyxxy22都是正数，则都是正数且）因为（xyyxyxyx,1证明：证明：2)1(,xyyxyxyx，求证：都是正数且已知22xyyxxyyx所以，时，等号成立，又，即当且仅当yxyxxyyx.2xyyx所以 xyyxxy22证明：证明：，所以都是正数且）因为（02,1xyyxyxyx,02,211xyxyyx又因为所以xyxyxyyxxy222所以xyyxxy2所以【归纳小结归纳小结】重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式Rbaabba,2220,02babaab等号成立的条件等号成立的条件当且当且仅当仅当a=b时，时，等号等号成立成立
