1、3 3.2.12.1 单调性与最大单调性与最大(小小)值（值（1 1）大关复兴中学-陈加印初步掌握利用函数的图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。通过知识的探究过程，培养学生细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯；学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力，发展学生的直观想象、数学抽象的核心素养；通过对单调性的证明，提高学生推理论证的数学核心素养；学习目标创设情境创设情境 二十四节气歌是我国古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研二十四节气歌是我国古代劳动人民对天文、气象进行长期
2、观察、研究的产物，古代人能够通过它直观的清楚的了解一年中季节的气候变化究的产物，古代人能够通过它直观的清楚的了解一年中季节的气候变化规律，以此把握农时，合理安排农时活动。下图是某县一年的气温变化规律，以此把握农时，合理安排农时活动。下图是某县一年的气温变化图，观察图象，您能得到什么信息？图，观察图象，您能得到什么信息？创设情境创设情境 思考：思考：观察下列函数图象，你发现了函数图象的哪观察下列函数图象，你发现了函数图象的哪些特征，你觉得它们反映了函数哪方面的性质？些特征，你觉得它们反映了函数哪方面的性质？探索新知探索新知21y=x+2,y=-x+2,y=x,y=x 探究一、画出函数的图象，并观
3、察在自变量变化时，函数值如何变化？2,x（1）函数y在整个定义域内，y 随 x 的增大而增大-2x,（2）函数y在整个定义域内，y 随 x 的增大而减小2x（3）函数y,在(-,0上，y随x的增大而减小；在0,+)，y随x的增大而增大1x（4）函数y,在(-,0)上，y随x的增大而减小；在(0,+)上y随x的增大而减小思考：如何用数学语言表达函数的单调性？单调递增单调递减单调递增单调递减单调递减单调递减探索新知探索新知x1x2f(x1）f(x2）图象从左至右图象从左至右上升上升0+在区间，上，0+在区间，上图象直观感知自然语言描述数学符号语言描述1121222()(),()xxf xf xx
4、xf xx，当时，那任意取（-,0么我们就称函数在区间都有（-,0单调递减x1234567.f(x).x1234567.f(x)14916 25 36 49.x x1.x2f(x)f(x1).f(x2)1121222()(),()0+,0+x xxxf xf xf xx，当时，那么我们就称函数在区间，任意取，都有单调递增你是如何判断的呢？y 随 x 的增大而增大探索新知探索新知 单调递增单调递增单调递减单调递减定定义义一般地，设函数一般地，设函数f(x)的的定义域为定义域为I，区间，区间DI，图图示示如果如果x1，x2D,当当x1f(x2),则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上上单调递减单
5、调递减,单调性是局部性质单调性是局部性质特别地，当函数特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，在它的定义域上单调递增时，我们就称它是我们就称它是增函数增函数特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，在它的定义域上单调递减时，我们就称它是我们就称它是减函数减函数()yf x xy01x)(1xf2x)(2xf()yf x xy01x2x)(1xf)(2xf()()()fxfxfxDDD 注：若 函 数在 区 间上 单 调 递 增(或 递 减)，则 称 说在 区 间上具 有 严 格 的 单 调 性，区 间叫的 单 调 区 间。如果如果x1，x2D,当当x1x2时时,都都f(x1)f(
6、x2),则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上上单调递增单调递增,探索新知探索新知条条件件一般地，设函数一般地，设函数f f(x x)的的定义域为定义域为I I，区间，区间D D I I，如果如果x x1 1，x x2 2D D,当当x x1 1 x x2 2时时,都有都有f(f(x x1 1)f(x)f(x2 2)结结论论则称函数则称函数f f(x x)在区间在区间D D上上单调递增单调递增特别地，当函数特别地，当函数f f(x x)在它的定义域上单调在它的定义域上单调递增时，我们就称它是递增时，我们就称它是增函数增函数则称函数则称函数f f(x x)在区间在区间D D上上单调递减单调递减
7、特别地，当函数特别地，当函数f f(x x)在它的定义域上单调递增时，在它的定义域上单调递增时，我们就称它是我们就称它是减减函数函数图图示示 ()yf x xy01x)(1xf2x)(2xf()yf x xy01x2x)(1xf)(2xf()()()fxfxfxDDD 注：若 函 数在 区 间上 单 调 递 增(或 递 减)，则 称 说在 区 间上具 有 严 格 的 单 调 性，区 间叫的 单 调 区 间。探索新知探索新知条条件件一般地，设函数一般地，设函数f f(x x)的的定义域为定义域为I I，区间，区间D D I I，如果如果x x1 1，x x2 2D D,当当x x1 1 x x2
8、 2时时,都有都有f(f(x x1 1)f(x)f(x2 2)结结论论则称函数则称函数f f(x x)在区间在区间D D上上单调递增单调递增特别地，当函数特别地，当函数f f(x x)在它的定义域上单调在它的定义域上单调递增时，我们就称它是递增时，我们就称它是增函数增函数则称函数则称函数f f(x x)在区间在区间D D上上单调递减单调递减特别地，当函数特别地，当函数f f(x x)在它的定义域上单调递增时，在它的定义域上单调递增时，我们就称它是我们就称它是减减函数函数定定义义等等价价变变形形 思考：函数的单调递增除了用如果如果x x1 1，x x2 2D D,当当x x1 1 x x2 2时
9、时,都有都有f(f(x x1 1)f(f(x x2 2)来说明，还有没有其他的来说明，还有没有其他的等价变形？等价变形？探索新知探索新知条条件件一般地，设函数一般地，设函数f f(x x)的的定义域为定义域为I I，区间，区间D D I I，如果如果x x1 1，x x2 2D D,当当x x1 1 x x2 2时时,都有都有f(f(x x1 1)f(x)f(x2 2)结结论论则称函数则称函数f f(x x)在区间在区间D D上上单调递增单调递增特别地，当函数特别地，当函数f f(x x)在它的定义域上单调在它的定义域上单调递增时，我们就称它是递增时，我们就称它是增函数增函数则称函数则称函数f
10、 f(x x)在区间在区间D D上上单调递减单调递减特别地，当函数特别地，当函数f f(x x)在它的定义域上单调递增时，在它的定义域上单调递增时，我们就称它是我们就称它是减减函数函数定定义义等等价价变变形形 2.根据函数图象说出函数的单调区间，以及在该区间的单调性。小试牛刀小试牛刀单调递增区间：0，2和4，5单调递减区间：-1，0和2，4注意：（1）单调区间不能用并集连接，而应该用“和”或“，”连接（2）不是所有函数都具备单调性（3）具有任意性，不能用几个特殊值代替判断典例分析典例分析Rf(x)例例1 1 根根据据函函数数单单调调性性的的定定义义，证证明明函函数数=3x+7=3x+7在在 上
11、上单单调调递递增增。典例分析典例分析证明：证明：x1,x2 R,且且x1x2，f(x1)f(x2)=(3x1+7)(3x2+7)=3x1 3x2 =3(x1 x2)x1x2，x1 x2 0，3(x1 x2)0f(x)=3+7在在R上单调递增，且为上单调递增，且为R上的增函数上的增函数.f(x1)f(x2)用定义法证明函数单调性的一般步骤（1 1）取数:任取x x1 1，x x2 2DD，且x x1 10时，0)(21 xxk于是21210()()()()f xf xf xf x，即上为增函数。在这时，R)(bkxxf当k0时，0)(21 xxk于是21210()()(fffxxxf x 即上为
12、减函数。在这时，R)(bkxxf取数定号作差下结论化简定号下结论体现了数学中分类讨论的思量典例分析典例分析及时练习及时练习 例例2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一告诉我们，对于一定量的气体，当其体积定量的气体，当其体积V减小时，压强减小时，压强p将增大将增大,试用函数单调性试用函数单调性证明证明.kp=(k)V为为正正常常数数证明：V1，V2(0，+)且V1V2，则21121212V-Vkkp(V)-p(V)=-=kVVV V由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是12p(V)-p(V)021 p(V)p(V)即即所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.kp=,V(0,+)V取数定号作差下结论化简课堂小结课堂小结2、函数单调性的定义；3、判断函数单调性：（1）方法：图像法，定义法 （2）定义法证明步骤：取数，做差，化简，定号，下结论1、单调函数的图象特征；课后练习课后练习必做题：P79：例3，练习：2，3题选做题：P86：8题课后达标课后达标2在下列四个函数中，在(0，)上单调递增的函数是()Ay3xByx23xCf(x)Df(x)2x1.定义在区间 5,5上的函数 y=f(x)的图象如图所示，根据图象写出函数的单调区间，以及在每一单调区间上的单调性.
