1、3.2.1函数的单调性函数的单调性T()T()气温气温T T是关于时间是关于时间t的函数曲线图的函数曲线图4812162024to-2248610思考思考:气温发生了怎样的变化气温发生了怎样的变化？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律分别反映了相应函数的哪些变化规律?1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？画出函数画出函数f(x)=xf(x)=x的图象，观察其
2、变化规律：的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降?2、在区间在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随的值随着着 _(-,+)增大增大上升上升1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _2、在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _(-,00,+)增大增大减小减小画出函数画出函数f(x)=xf(x)=x2 2的图象，观察其变化规律：的图象，观察其变化规律：.),0)()()()(,)(,),0 2212122221121增增函函数数上是在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到
3、上任取两个在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx如何利用函数解析式如何利用函数解析式f(x)=xf(x)=x2 2来描述图象这来描述图象这种变化规律种变化规律?一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数 1增函数增函数一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如
4、果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是减函数 2减函数减函数 1、函数的单调性是针对定义域内的某个区间而函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，是函数的一个言的，是函数的一个局部性质局部性质；注意：2、必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)分别是分别是增函数增函数和和减函数减函数.判断：判断：定义在定义在R上的函数上的函数 f(x)满足满足 f(2)(2)f(1)(1)，则函
5、数，则函数 f(x)在在R上是上是增函数吗增函数吗?yxO12f(1)f(2)例如：例如：y=xy=x在整个定义域在整个定义域(-,+)上单调递增上单调递增;y=xy=x2 2在在0,+)单调递增单调递增,在在(-,0单调递减单调递减.如果函数如果函数y=f(x)在某个区间在某个区间D上是增函上是增函数或是减函数，那么就说函数数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这在这一区间具有（严格的）一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫叫做做y=f(x)的的单调区间单调区间.二、函数单调区间定义二、函数单调区间定义 练习：分别画出下列函数的图象，并根据它们的图象指出其单调区间。（1）y=2x
6、+1 （2）y=(x-1)2-1（3）y=（4）y=2x1yxoy(1)y=2x+1xo2)y=(x-1)2-112-1yOxxy1)3(增区间增区间为为(,)增区间增区间为为1,)减区间减区间为为(,1减区间减区间为为(,0),(0,)(4)y=2无单调性无单调性1(0)(,0)(0,)yxx能 不 能 说在 定 义 域上是 单 调 减 函 数?Oyx例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2,-2,1,1,3,3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间
7、-5,-2,1,3上是减函数，上是减函数，在区间在区间-2,1,3,5 上是增函数。上是增函数。例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp 证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkp Vp VkVVVV由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是0)()(21VpVp)()(12VpVp 即 所以，函数 是
8、减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号结论结论变形作差三、三、函数单调性的方法步骤函数单调性的方法步骤 1 取值取值:任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差:f(x1)f(x2)；3 变形变形:（通常是因式分解或配方等）；（通常是因式分解或配方等）；4 定号定号:（即判断差（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 结论结论:（即指出函数（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的单调性）单调性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：证明：设证明：设x1,
9、x2是是上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2),0因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减上是减函数。函数。取值定号变形作差判断x1练习练习1：画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：1(1)(0);yxxx1yxy1yx的单调减区间是_(,0)(0,),讨论讨论1：根据函数单调性的定义根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?2试讨论在试讨论在 和和 上的单调性？上的单调性？()(0)kf xkx0,0？变式变式2：讨论：讨论 的单调性的单
10、调性2(0)yaxbxc a成果交流成果交流变式变式1：讨论：讨论 的单调性的单调性2(0)yaxa2(2)2.yx xyy=-x2+21-1122-1-2-22yx+2的单调增区间是_;(,02yx+2的单调减区间是_.0,)练习练习2.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间 a0 a02yaxbxc,2ba,2ba 2(0)yaxbxc a的对称轴为2bxa 返回,2ba,2ba例例3.3.判断函数判断函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性.（教材（教材P P43/7(4)43/7(4)1yxx0,描点作图描点作
11、图1.任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2.作差作差f(x1)f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5.下结论下结论主要步骤主要步骤并给出证明并给出证明证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 1,12,x x12xx则则12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x，且，且12xx12120,10 xxx x 1212()()0,()()f xf x
12、f xf x所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数.1yxx1,取值取值作差作差变变形形定号定号结论结论返回四、归纳小结四、归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断根据图象判断，再利用再利用定义证明定义证明求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论 讨论函数的单调性必须在定义域内进行讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的即函数的单调区间是其定义域的子集单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性因此讨论函数的单调性,必必须先确定函数的定义域须先确定函数的定义域.根据定义证明函数单调性的一
13、般步骤是：根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设设 是给定区间内的任意两个值，且是给定区间内的任意两个值，且12x,x12xx.12f(x)f(x)作差作差 并将此差变形并将此差变形(要注意变形的程度要注意变形的程度).).判断判断 的正负（说理要充分）的正负（说理要充分）.12f(x)f(x)根据根据 的符号确定其增减性的符号确定其增减性.12f(x)f(x)数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数无形时少直觉数无形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一体,永远联系莫分离永远联系莫分离.华罗庚华罗庚
