1、3 3.2 2.2 2奇偶性奇偶性课标阐释思维脉络1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.(数学抽象)2.了解奇函数、偶函数图象的特征.(直观想象)3.会判断(或证明)函数的奇偶性.(逻辑推理)激趣诱思知识点拨在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?激趣诱思知识点拨知识点一、奇、偶函数的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,激趣诱思知识点拨名师点析 对函数奇偶性定义的理解:(1)函数的奇偶性是相对于定义域I内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个
2、子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原点对称.激趣诱思知识点拨微练习(1)下列函数是偶函数的为()A.y=2|x|-1,x-1,2B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x-1,0)(0,1答案:D(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()A.y=x-1 B.y=3x2C.y=D.y=-x|x|答案:D激趣诱思知识点拨知识点二、奇、偶函数的图象特征(1)偶函数的图象关于y轴对称;反之,结论也成立,即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的图象关于原点对称;反之,结论也成立,即图象关
3、于原点对称的函数一定是奇函数.名师点析 奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0a0时,-x0,f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x).当x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.图象关于原点对称,f(x)是奇函数.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法:探究一探究二素养形
4、成当堂检测变式训练判断下列函数的奇偶性:(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.探究一探究二素养形成当堂检测利用函数的奇偶性求解析式利用函数的奇偶性求解析式例2已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求
5、解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解即可.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.探究一探究二素养形成当堂检测解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2.(2)当x0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟 1.
6、利用函数的奇偶性求解析式的常见类型已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-(-x);若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=(-x).2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.探究一探究二素养形成当堂检测延伸探究 若将本例中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解:当x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x
7、2-3x+1,所以f(x)的解析式为探究一探究二素养形成当堂检测利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题典例 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x0时,f(x)0,则()A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性探究一探究二素养形成当堂检测解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=
8、0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.设x10,所以f(x2-x1)0,故f(x2)f(x1),所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.答案:B探究一探究二素养形成当堂检测方法点睛 1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意,R,总有f(+)-f()+f()=2
9、019,则下列说法正确的是()A.f(x)-1是奇函数B.f(x)+1是奇函数C.f(x)-2 019是奇函数D.f(x)+2 019是奇函数解析:令=0,则f(0)-f(0)+f(0)=2 019,即f(0)=-2 019.令=-,则f(0)-f()+f(-)=2 019,即f()+f(-)=-4 038,则f(-)+2 019=-2 019-f()=-2 019+f(),即f(x)+2 019是奇函数,故选D.答案:D探究一探究二素养形成当堂检测1.已知一个奇函数的定义域为-1,2,a,b,则a+b等于()A.-1B.1C.0D.2解析:因为一个奇函数的定义域为-1,2,a,b,根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.答案:A探究一探究二素养形成当堂检测A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:由题意知函数的定义域是(-,-4)(-4,+),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.答案:D探究一探究二素养形成当堂检测3.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=.解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a,f(x)是偶函数,a-4=0,即a=4.答案:4探究一探究二素养形成当堂检测
