1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年四川省凉山州高考数学一诊试卷（理科）年四川省凉山州高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 A1，2，B1，1，a+1，且 AB，则 a（ ） A1 B0 C1 D2 2 （5 分）在复平面内，复数 z（1+i） （2i）对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）抛物线 x2+3y0 的准线方程为（ ）
2、 Ax= 3 4 Bx= 3 2 Cy= 3 4 Dy= 3 2 4 （5 分）已知 2| | |， （ ） ，则与 的夹角是（ ） A30 B45 C60 D90 5 （5 分）如图所示的程序框图，若输出值 y1，则输入值 x 的集合是（ ） A0，1 B1，2 C0，2 D1 6 （5 分）污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一凉山州某 地区 2019 年空气质量为“良”的天数共为 150 天，若要在 2021 年使空气质量为“良” 的天数达到 216 天， 则这个地区空气质量为 “良” 的天数的年平均增长率应为 （ ） （精 确到小数点后 2 位） A0.13 B0
3、.15 C0.20 D0.22 7 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，| 2）的图象如图所示，为了得到 g （x）Asinx 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） 第 2 页（共 16 页） A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 8 （5 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 9 （5 分）已知平面 ， 和直线 l，则“”的充分不必要条件是（ ） A 内有无数条直线与 平行 Bl 且 l C 且 D
4、 内的任何直线都与 平行 10 （5 分）函数 f（x）= 2(+ 2)+2 ，其图象的对称中心是（ ） A （0，1） B （1，1） C （1，1） D （0，1） 11 （5 分）已知点 M 为直线 x+y30 上的动点，过点 M 引圆 x2+y21 的两条切线，切点 分别为 A，B，则点 P（0，1）到直线 AB 的距离的最大值为（ ） A3 2 B5 3 C 11 2 D 17 3 12 （5 分）若函数 f（x）= 1 2x 2ax+blnx 在区间（1，2）上有两个极值点，则 b 的可能取 值为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题每小题小题每小题
5、 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知(3+ 1 2) 5的展开式中的常数项为 （用数字答） 14 （5 分）已知 0 2，tan= 4 3，则 sin+cos 15（5 分） 在一个长方体形的铁盒内有一个小球， 铁盒共一顶点的三个面的面积分别是2、 第 3 页（共 16 页） 3、6，则小球体积的最大值为 16 （5 分）如图，直线 PT 和 AB 分别是函数 f（x）x33x 过点 P（2，2）的切线（切点 为 T）和割线，则切线 PT 的方程为 ；若 A（a，f（a） ） ，B（b，f（b） ） （ba2） ， 则 a+b 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答
6、步骤，共三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤，共 70 分）分） 17 （12 分）Sn为等差数列an的前 n 项和，a11，S39 （1）求an的通项公式； （2）设 bna2n1+a2n，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取 10 名学生的数学成绩进行统计分 析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示 （1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求 x（x10， xN）的值； （2）从样本中任意抽取 3 名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于1 5， 则该班成绩判断为可疑试判断甲班的成绩是否可疑？并
7、说明理由 19 （12 分）在ABC 中（图 1） ，AB5，AC7，D 为线段 AC 上的点，且 BDCD4， 以 BD 为折线，把BDC 翻折，得到如图 2 所示的图形，M 为 BC 的中点，且 AMBC， 连接 AC （1）求证：ABCD； （2）求二面角 BACD 的余弦值 第 4 页（共 16 页） 20 （12 分）已知函数 f（x）= （e2.71828为自然对数的底数） （1）若 a0，试讨论 f（x）的单调性； （2）对任意 x（0，+）均有（x2+1）exax3x2ax0，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2
8、，且与双曲线 2 2= 1 2有 相同的焦点 （l）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 M 满足 = ，点 P（1，3 2） ，若直线 MP 斜率为3 2，求ABP 面积的最大值及此时直线 l 的方程 请考生在第请考生在第 2223 两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目加果多做，则按所做的两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目加果多做，则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分选修本选修本 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（1，0） ，在极坐标系（与直角坐标 系取相同的长度单位
9、，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 cos+sin10 （1）判断点 M 与直线 l 的位置关系； （2）设直线 l 与曲线 C： = 2 = 2（t 为参数，tR）相交于 A，B 两点，求点 M 到 A，B 两点的距离之积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x+a| （1）若 a2，求不等式 f（2x2）3 的解集； （2）若 f（x）+f（x2）m2+m 对任意，xR 恒成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2020 年四川省凉山州高考数学一诊试卷（理科）年四川省凉山州高考数学一诊试卷（理科） 参考答案与试题解
10、析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 A1，2，B1，1，a+1，且 AB，则 a（ ） A1 B0 C1 D2 【解答】解：因为集合 A1，2，且 AB， 所以 A 是 B 的子集，则 A 中有的元素，B 中都有， 则 2B， 因为 B1，1，a+1，且需要满足集合中元素的互异性， 所以 2a+1， 即 a1 故选：A 2 （5 分）在复平面内，复数 z（1+i） （2i）对应的点
11、位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z（1+i） （2i）3+i， 故 z 对应的点在第一象限， 故选：A 3 （5 分）抛物线 x2+3y0 的准线方程为（ ） Ax= 3 4 Bx= 3 2 Cy= 3 4 Dy= 3 2 【解答】解：抛物线 x2+3y0 即：x23y 的准线方程为：y= 3 4 故选：C 4 （5 分）已知 2| | |， （ ） ，则与 的夹角是（ ） A30 B45 C60 D90 【解答】解：由 2| | |， （ ） ， 所以（ ） =0， 即 2 =0， 第 6 页（共 16 页） 所以 = 2 = | |2， 所以 cos
12、= | | |= | |2 | |2|= 1 2； 又 0，180， 所以 与 的夹角是 60 故选：C 5 （5 分）如图所示的程序框图，若输出值 y1，则输入值 x 的集合是（ ） A0，1 B1，2 C0，2 D1 【解答】解：根据程序框图知，该程序运行后输出函数 y= 2，1 (1 2) 1 1， 1； 当 x1 时，令 ylog2x1，解得 x2； 当 x1 时，令 y= (1 2) 1 11，解得 x0； 综上知，输出值 y1 时，输入值 x 的集合是0，2 故选：C 6 （5 分）污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一凉山州某 地区 2019 年空气质量为“
13、良”的天数共为 150 天，若要在 2021 年使空气质量为“良” 的天数达到 216 天， 则这个地区空气质量为 “良” 的天数的年平均增长率应为 （ ） （精 确到小数点后 2 位） A0.13 B0.15 C0.20 D0.22 【解答】解：设年平均增长率为 x，则 150（1+x）2216， 第 7 页（共 16 页） (1 + )2= 216 150 =1.44， 则 1+x1.20，得 x0.20 这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为 0.20 故选：C 7 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，| 2）的图象如图所示，为了得到 g （x）Asinx
14、的图象，则只要将 f（x）的图象（ ） A向右平移 6个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向左平移 6个单位长度 D向左平移 3个单位长度 【解答】解：设 f（x）的周期为 T，根据函数的图象， 可得： 4 = 7 6 2 3 ，得 T2，由 2 =，可得 1 A0，函数的最小值为2， A2 函数表达式为 f（x）2sin（x+） ， 又当 x= 7 6 时，函数有最小值， 7 6 += 2 +2k（kZ） ，解之得 = 5 3 +2k（kZ） ， | 2， 取 k1，得 = 3， 因此，函数的表达式为 f（x）2sin（x+ 3） ， 由此可得函数 g（x）2sinxf（x 3） ， 将
15、函数 f（x）的图象右移 3个单位长度，即可得到 g（x）2sinx 的图象 故选：B 第 8 页（共 16 页） 8 （5 分）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a= 3，bcosAsinB， 则 A（ ） A 12 B 6 C 4 D 3 【解答】解：a= 3，bcosAsinB， 3bcosAasinB， 由正弦定理可得 sinAsinB= 3sinBcosA， B 是三角形内角，sinB0， tanA= 3， 由 A 是三角形内角，可得：A= 3 故选：D 9 （5 分）已知平面 ， 和直线 l，则“”的充分不必要条件是（ ） A 内有无数条直线与 平行 B
16、l 且 l C 且 D 内的任何直线都与 平行 【解答】解：由 内有无数条直线与 平行，不能得到 ，故 A 不是 的充分条 件； 由 l 且 l，得 ，反之，由 ，不一定有 l 且 l，故 B 是 的充分 不必要条件； 由 且 ，不能得到 ，故 C 不是 的充分条件； 由 内的任何直线都与 平行，可得 ，反之，由 ，可得 内的任何直线都与 平行，故 D 是 的充分必要条件 故选：B 10 （5 分）函数 f（x）= 2(+ 2)+2 ，其图象的对称中心是（ ） A （0，1） B （1，1） C （1，1） D （0，1） 【解答】解：f（x）= 2(+ 2)+2 = 2+2 = 2+2 1，
17、 设 g（x）= 2+2 ，则 g（x）是奇函数，g（x）关于（0，0）对称， 则 f（x）g（x）1，则 f（x）关于（0，1）对称， 第 9 页（共 16 页） 故选：D 11 （5 分）已知点 M 为直线 x+y30 上的动点，过点 M 引圆 x2+y21 的两条切线，切点 分别为 A，B，则点 P（0，1）到直线 AB 的距离的最大值为（ ） A3 2 B5 3 C 11 2 D 17 3 【解答】解：设 M（a，3a） ，切点坐标为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 设直线 MA 上任意一点 Q（x，y） ， 由 = 0，得（xx1，yy1） （x1，y1）0，化简得 xx1
18、+yy11， 同理直线 MA 的方程为 xx2+yy21， 因为（a，3a）都在直线 MA，MB 上，且 A，B 都满足上面两式， 所以直线 AB 的方程为：ax+（3a）y1， 由点 P（0，1）到直线 AB 的距离 d= |31| 2+(3)2 令 a4t，at+4， 所以 d= (4)2 (3)2+2 = 2 22+10+17 = 1 2+10 +17 2 = 1 17(1 + 5 17) 2+9 17 17 3 ， 故选：D 12 （5 分）若函数 f（x）= 1 2x 2ax+blnx 在区间（1，2）上有两个极值点，则 b 的可能取 值为（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：
19、() = + = 2+ ， 令 g（x）x2ax+b，依题意，函数 g（x）在（1，2）上有两个零点，则 2 40 1 + 0 4 2 + 0 1 2 2 ， 则必有 4ba216，即 b4 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知(3+ 1 2) 5的展开式中的常数项为 10 （用数字答） 【解答】解：(3+ 1 2) 5的通项是 第 10 页（共 16 页） +1= 5 (3)5(1 2) =C5rx15 5r， 要求展开式中的常数项， 155r0， r3 展开式中的常数项是 C5310， 故答案为：10 14
20、 （5 分）已知 0 2，tan= 4 3，则 sin+cos 7 5 【解答】解：0 2，tan= 4 3， cos= 1 1+2 = 3 5，sin= 1 2 = 4 5， sin+cos= 7 5 故答案为：7 5 15（5 分） 在一个长方体形的铁盒内有一个小球， 铁盒共一顶点的三个面的面积分别是2、 3、6，则小球体积的最大值为 6 【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为 a，b，c，由题意得：a= 3，b= 2，c1， 由题意得小球的最大直径为 1，设小球的半径为 r，则 2r1，所以 r= 1 2，所以小球的体 积 V= 4 3 3= 6， 故答案为： 6 16 （5 分）如图，
21、直线 PT 和 AB 分别是函数 f（x）x33x 过点 P（2，2）的切线（切点 为 T）和割线，则切线 PT 的方程为 y2 ；若 A（a，f（a） ） ，B（b，f（b） ） （ba 2） ，则 a+b 2 【解答】解：由直线 PTx 轴，可得直线 PT 的方程为 y2， 第 11 页（共 16 页） 由 P（2，2） ，A（a，a33a） ，B（b，b33b）三点共线，可得 kPAkPB， 由 kPA= 332 2 = (+1)2(2) 2 =（a+1）2，同样可得 kPB（b+1）2， 即有（a+1）2（b+1）2，因为 ab，可得 a+1+b+10， 可得 a+b2 故答案为：y2
22、，2 三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤，共三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤，共 70 分）分） 17 （12 分）Sn为等差数列an的前 n 项和，a11，S39 （1）求an的通项公式； （2）设 bna2n1+a2n，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d， 由 a11，S39，可得 3+ 1 2 32d9，解得 d2， 则 an1+2（n1）2n1； （2）bna2n1+a2n2（2n1）1+4n18n4， 则前 n 项和 Tn4+12+（8n4）= 1 2n（4+8n4）4n 2 18 （12 分）如在某次数学
23、考试中，从甲乙两个班各抽取 10 名学生的数学成绩进行统计分 析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示 （1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求 x（x10， xN）的值； （2）从样本中任意抽取 3 名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于1 5， 则该班成绩判断为可疑试判断甲班的成绩是否可疑？并说明理由 【解答】解： （1）样本中甲、乙两班的平均成绩分别为甲，乙， 甲= 1 10（703+803+902+1002+53+3+76）89， 乙= 1 10（702+803+904+100+82+32+1+2+4+5+x+9）84+ 43+ 10 ， 甲= 乙，8
24、4+ 43+ 10 =89， 第 12 页（共 16 页） 解得 x7 （2）甲班的成绩可疑理由如下： 甲班成绩相同的有：87 分 3 人，75 分 2 人，97 分 2 人， 从样本中抽取 3 名学生的成绩中至少有两名学生的成绩相同的概率为： P= 3 3+ 3 2 7 1+2 2 2 8 1 10 3 = 19 60 1 5， 甲班的成绩可疑 19 （12 分）在ABC 中（图 1） ，AB5，AC7，D 为线段 AC 上的点，且 BDCD4， 以 BD 为折线，把BDC 翻折，得到如图 2 所示的图形，M 为 BC 的中点，且 AMBC， 连接 AC （1）求证：ABCD； （2）求二面
25、角 BACD 的余弦值 【解答】解： （1）证明：在图 1 中有：AC+7，BDCD4，AD3， 在ABD 中，AB5，AD3，BD4，AD2+BD2AB2，BDCD， 在图 2 中，ABC 中，AMBC，M 为 BC 的中点， ABAC5，在ABD 中，AC5，CD4，AD3， AC2CD2+AD2，CDAD， 翻折后仍有 BDCD， ADBDD，CD平面 ABD， AB平面 ABD，CDAB （2）解：由（1）得 CD，BD，AD 两两垂直， 以 D 为原点，DB，DA，DC 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，3，0） ，B（4，0，0） ，C（0，0，4）
26、 ， =（4，3，0） ， =（0，3，4） ， 设平面 ABC 的法向量 =（x，y，z） ， 第 13 页（共 16 页） 则 = 4 3 = 0 = 3 + 4 = 0 ，取 y4，得 =（3，4，3） ， 平面 ACD 的法向量 =（1，0，0） ， cos ， = | |= 334 34 二面角 BACD 的余弦值为334 34 20 （12 分）已知函数 f（x）= （e2.71828为自然对数的底数） （1）若 a0，试讨论 f（x）的单调性； （2）对任意 x（0，+）均有（x2+1）exax3x2ax0，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为x|x0
27、，() = 2 = (1) 2 ， 当 a0 时，令 f（x）0 解得 x1；令 f（x）0 解得 x1 且 x0； 当 a0 时，令 f（x）0 解得 x1 且 x0；令 f（x）0 解得 x1； 当 a0 时，f（x）在（1，+）上单调递增，在（，0） ， （0，1）单调递减； 当 a0 时，f（x）在（，0） ， （0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减； （2）因为 x（0，+） ，所以 x3+x0，故 (2+1)2 3+ = 2+1在（0，+） 上恒成立， 设() = 2+1 (0)，则 ag（x）min， () = (1) 2 12 (2+1)2 = ( 1) 2 + +1 (2
28、+1)2，令 g（x）0，则 x1， 函数 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， ()= (1) = 1 2， 第 14 页（共 16 页） 1 2，即实数 a 的取值范围为(， 1 2 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为1 2，且与双曲线 2 2= 1 2有 相同的焦点 （l）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 M 满足 = ，点 P（1，3 2） ，若直线 MP 斜率为3 2，求ABP 面积的最大值及此时直线 l 的方程 【解答】 解：（1） 由题意， 双曲线的焦点 （1， 0） 所以由题
29、意知椭圆中： c1， e= = 1 2， b 2 a2c2，解得：a24，b23，所以椭圆的方程为： 2 4 + 2 3 = 1； （2） = ，M 为线段 AB 的中点，又 kMP= 3 2 =kPO， 1）当 M 为坐标原点时， 当 AB 的斜率不存在时， 此时， A， B 为短轴的两个端点， SABP= 1 2 2b|xP|= 1 2 23 1 = 3， 当 AB 的斜率存在时，设的斜率为 k，设 A（x，y） ，B（x，y） ，则直线 AB：ykx（k 3 2） 代入椭圆方程整理： （3+4k2）x2120，x+x0，xx= 12 3+42， |AB|= 1 + 2 ( + )2 4
30、= 1 + 2 43 3+42 =43 1+2 3+42， P 到直线 AB 的距离 d= |3 2| 1+2， 所以 SABP= 1 2|AB|d23 |3 2| 3+42 = 31 + 612 3+42， 令 t612k，612 3+42 = 36 212+144 = 36 +144 12， 要得面积 SABP的最大值，则 t0，t+ 144 24， 612 3+42 36 12 =3，这时 t= 144 ，即 t12，612k12，k= 1 2时等号成立， （SABP）max23，直线方程为：y= 1 2x 第 15 页（共 16 页） 2）当 M 不为原点时， 由 kMPkOP= 3
31、2，M，O，P 三点共线， kMO= 3 2，设 A（x，y） ，B（x，y） ，M（x0，y0） ， lAB的斜率为：kAB，x+x2x0，y+y2y0，0 0 = 3 2， 因为 A，B 在椭圆上： 2 4 + 2 3 = 1 2 4 + 2 3 = 1 ， (+)() 4 + (+)() 3 =0， 1+ 4 3 + + =0， 1+ 4 3 20 20kAB0， 即 1+ 4 3 3 2 =0，kAB= 1 2， 设直线 lAB：y= 1 2x+m 代入椭圆整理得：x 2mx+m230，m24（m23）0， m24，x+xm，xxm23 |AB|=1 + ( 1 2) 2 ( + )2
32、 4 = 5 2 12 32，P 到直线 AB 的距离为： d= |1 2 3 2+| 1+(1 2) 2 =2|2| 5 ， SABP= 1 2 | = 1 2 5 2 12 322 |2| 5 = 3 2 (2 )3 (2 + )， 令 g（m）（2m）3（2+m） ， （2m2） ， g（m）4（2m）2（m+1） ，m（2，1） ，g（m）0，g（m）单调递增，m （1， 2） ， g （m） 0， g （m） 单调递减， 所以 g （1） max27， SABP）max= 9 2 23， 直线 AB 的方程：y= 1 2 1， 综上所述，面积的最大值为9 2，直线 AB 的方程：y=
33、 1 2 1 请考生在第请考生在第 2223 两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目加果多做，则按所做的两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目加果多做，则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分选修本选修本 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为（1，0） ，在极坐标系（与直角坐标 系取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 第 16 页（共 16 页） cos+sin10 （1）判断点 M 与直线 l 的位置关系； （2）设直线 l 与曲线 C： = 2 = 2（t 为参数，t
34、R）相交于 A，B 两点，求点 M 到 A，B 两点的距离之积 【解答】解： （1）l 在平面直角坐标系的方程为 x+y10， 将 M（1，0）代入得 1+010， 点 M 在直线 l 上 （2）曲线 C 的直角坐标系为 y24x， 直线 l 的参数方程为 = 1 2 2 = 2 2 ， （t 为参数） ， 将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y24x，得： 2+ 42 8 = 0， 点 M 到 A，B 两点的距离之积为：|t1t2|8 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 f（x）|x+a| （1）若 a2，求不等式 f（2x2）3 的解集； （2）若 f（x）+f（x2）m2+m 对任意，xR 恒成立，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）当 a2 时，f（2x2）3 即|2x2+2|3，解得 3 2 3 2， 故所求不等式的解集为( 3 2 ， 3 2)； （2）f（x）+f（x2）|x+a|+|x+a2|x+axa+2|2， 只需 2m2+m 成立即可， 2m1，即实数 m 的取值范围为2，1
