高三数学数列综合练习题答案与解析.doc

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1、高三数学数列综合练习题答案与解析一选择题(共23小题)1已知函数f(x)=,若数列an满足an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A,4)B(,4)C(2,4)D(1,4)2已知an是递增数列,且对任意nN*都有an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是()A(,+)B(0,+)C2,+)D(3,+)3已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,数列an是等差数列,a110,则f(a9)+f(a11)+f(a13)的值()A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负4等比数列an中,a4=2,a7=5,则数列lgan的前10项和等于()A2Blg50C10D55右边所示的

2、三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是()A2B4C6D86已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则+的最小值为()ABCD7已知,把数列an的各项排列成如图的三角形状,记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()ABCD8设等差数列an满足=1,公差d(1,0),若当且仅当n=9时,数列an的前n项和Sn取得最大值,则首项a1的取值范围是()A(,)B,C,D(,)9定义在(,0)(0,+)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an),仍是等比数列,则称f(x)为

3、“等比函数”现有定义在(),0)(0,+)上的如下函数:f(x)=3x,f(x)=,f(x)=x3,f(x)=log2|x|,则其中是“等比函数”的f(x)的序号为()ABCD10已知数列an(nN*)是各项均为正数且公比不等于1的等比数列,对于函数y=f(x),若数列lnf(an)为等差数列,则称函数f(x)为“保比差数列函数”现有定义在(0,+)上的三个函数:f(x)=;f(x)=ex;f(x)=;f(x)=2x,则为“保比差数列函数”的是()ABCD11已知数列an满足a1=1,an+1=,则an=()AB3n2CDn212已知数列an满足a1=2,an+1an=an+1an,那么a31

4、等于()ABCD13如果数列an是等比数列,那么()A数列是等比数列B数列2an是等比数列C数列lgan是等比数列D数列nan是等比数列14在数列an中,an+1=an+2,且a1=1,则=()ABCD15等差数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则()AA+C=2BBB2=ACC3(BA)=CDA2+B2=A(B+C)16已知数列an的通项为an=(1)n(4n3),则数列an的前50项和T50=()A98B99C100D10117数列1,的前n项和为()ABCD18数列an的通项公式为,其前n项和为sn,则s2017等于()A1006B1008C1006D100819数列a

5、n中,则数列an前16项和等于()A130B132C134D13620庄子天下篇中记述了一个著名命题:“一尺之锤,日取其半,万世不竭”反映这个命题本质的式子是()A1+=2B1+2C+=1D+121在数列an中,若=+,a1=8,则数列an的通项公式为()Aan=2(n+1)2Ban=4(n+1)Can=8n2Dan=4n(n+1)22已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和为Sn,则S10=()A2101B291C45D5523设等差数列an满足,公差d(1,0),当且仅当n=9时,数列an的前n项和Sn取得最大值,求该数列首项

6、a1的取值范围()AB,C(,)D,二解答题(共4小题)24已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和25已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=1,b1=1,a2+b2=2(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S326设数列an满足a1+3a2+(2n1)an=2n(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和27已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5()求an的通项公式;()求和:b

7、1+b3+b5+b2n1数列综合练习题答案与解析一选择题(共23小题)1已知函数f(x)=,若数列an满足an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A,4)B(,4)C(2,4)D(1,4)【解答】解:函数f(x)=,数列an满足an=f(n)(nN*),且an是递增数列,解得2a4故选:C2已知an是递增数列,且对任意nN*都有an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是()A(,+)B(0,+)C2,+)D(3,+)【解答】解:an是递增数列,an+1an,an=n2+n恒成立即(n+1)2+(n+1)n2+n,2n1对于nN*恒成立而2n1在n=1时取得最大值3,3

8、,故选D3已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,数列an是等差数列,a110,则f(a9)+f(a11)+f(a13)的值()A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负【解答】解:f(a11)f(0)=0,a9+a13=2a110,a9a13,f(a9)f(a13)=f(a13),f(a9)+f(a13)0,f(a9)+f(a11)+f(a13)0,故选:A4等比数列an中,a4=2,a7=5,则数列lgan的前10项和等于()A2Blg50C10D5【解答】解:等比数列an中,a4=2,a7=5,a1a10=a2a9=a4a7=10,数列lgan的前10项和S=lga1+lga2+lga

9、10=lga1a2a10=lg105=5故选:D5右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是()A2B4C6D8【解答】解:杨辉三角形中,每一行的第一个数和最后一个数都是1,首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和,a=3+3=6;故选C6已知正项等比数列an满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则+的最小值为()ABCD【解答】解:设正项等比数列an的公比为q,且q0,由a7=a6+2a5得:a6q=a6+,化简得,q2q2=0,解得q=2或q=1(舍去),因为aman=16a12,所(a1qm1)(a1qn1

10、)=16a12,则qm+n2=16,解得m+n=6,+=(m+n)(+)=(17+)(17+2)=,当且仅当=,解得:m=,n=,因为m n取整数,所以均值不等式等号条件取不到,+,验证可得,当m=1、n=5时,取最小值为故答案选:B7已知,把数列an的各项排列成如图的三角形状,记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()ABCD【解答】解:由A(m,n)表示第m行的第n个数可知,A(10,12)表示第10行的第12个数,根据图形可知:每一行的最后一个项的项数为行数的平方,所以第10行的最后一个项的项数为102=100,即为a100;每一行都有2n1个项,所以第10行有2101

11、=19项,得到第10行第一个项为10019+1=82,所以第12项的项数为82+121=93;所以A(10,12)=a93=故选A8设等差数列an满足=1,公差d(1,0),若当且仅当n=9时,数列an的前n项和Sn取得最大值,则首项a1的取值范围是()A(,)B,C,D(,)【解答】解:=sin(4d),sin(4d)=1,d(1,0),4d(4,0),4d=,d=,Sn=na1+=+,其对称轴方程为:n=,有题意可知当且仅当n=9时,数列an的前n项和Sn取得最大值,解得a1,故选:A9定义在(,0)(0,+)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an),仍是等比数列,则称

12、f(x)为“等比函数”现有定义在(),0)(0,+)上的如下函数:f(x)=3x,f(x)=,f(x)=x3,f(x)=log2|x|,则其中是“等比函数”的f(x)的序号为()ABCD【解答】解:不妨设等比数列an中,an=a1qn1,f(x)=3x,=常数,故当q1时,f(an)不是等比数列,故f(x)=3x不是等比函数;f(x)=,=,故f(an)是等比数列,故f(x)=是等比函数;f(x)=x3,=q3,故f(an)是等比数列,故f(x)=x3是等比函数;f(x)=log2|x|,=,故f(an)不是等比数列,故f(x)=log2|x|不是等比函数故其中是“等比函数”的f(x)的序号,

13、故选:D10已知数列an(nN*)是各项均为正数且公比不等于1的等比数列,对于函数y=f(x),若数列lnf(an)为等差数列,则称函数f(x)为“保比差数列函数”现有定义在(0,+)上的三个函数:f(x)=;f(x)=ex;f(x)=;f(x)=2x,则为“保比差数列函数”的是()ABCD【解答】解:设数列an的公比为q(q1)由题意,lnf(an)=ln,lnf(an+1)lnf(an)=lnln=ln=lnq是常数,数列lnf(an)为等差数列,满足题意;由题意,lnf(an)=ln,lnf(an+1)lnf(an)=lnln=an+1an不是常数,数列lnf(an)不为等差数列,不满足

14、题意;由题意,lnf(an)=ln,lnf(an+1)lnf(an)=lnln=lnq是常数,数列lnf(an)为等差数列,满足题意;由题意,lnf(an)=ln(2an),lnf(an+1)lnf(an)=ln(2an+1)ln(2an)=lnq是常数,数列lnf(an)为等差数列,满足题意;综上,为“保比差数列函数”的所有序号为故选:C11已知数列an满足a1=1,an+1=,则an=()AB3n2CDn2【解答】解:a1=1,an+1=,=+3,即=3,数列是以1为首项,3为公差的等差数列,=1+(n1)3=3n2,an=,故选:A12已知数列an满足a1=2,an+1an=an+1an

15、,那么a31等于()ABCD【解答】解:由已知可得=1,设bn=,则数列bn是以为首项,公差为1的等差数列b31=+(311)(1)=,a31=故选:B13如果数列an是等比数列,那么()A数列是等比数列B数列2an是等比数列C数列lgan是等比数列D数列nan是等比数列【解答】解:对于A:设bn=,则=()2=q2,bn成等比数列;正确;对于B:数列2,=2常数;不正确;对于C:当an0时lgan无意义;不正确;对于D:设cn=nan,则=常数不正确故选A14在数列an中,an+1=an+2,且a1=1,则=()ABCD【解答】解:在数列an中,an+1=an+2,且a1=1,可得an=a1

16、+(n1)d=1+2(n1)=2n1,由=(),可得=(1+)=(1)=故选:A15等差数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则()AA+C=2BBB2=ACC3(BA)=CDA2+B2=A(B+C)【解答】解:由等差数列的前n项和公式的性质可得:A,BA,CB也成等差数列2(BA)=A+CB,解得3(BA)=C故选:C16已知数列an的通项为an=(1)n(4n3),则数列an的前50项和T50=()A98B99C100D101【解答】解:数列an的通项为an=(1)n(4n3),前50项和T50=1+59+1317+197=(1+5)+(9+13)+(17+21)+(193

17、+197)=4+4+4+4=425=100故选:C17数列1,的前n项和为()ABCD【解答】解:=2()数列1,的前n项和:数列1+=2(1+)=2(1)=故选:B18数列an的通项公式为,其前n项和为sn,则s2017等于()A1006B1008C1006D1008【解答】解:,n=2k1(kN*)时,an=a2k1=(2k1)=0n=2k时,an=a2k=2kcosk=2k(1)ks2017=(a1+a3+a2017)+(a2+a4+a2016)=0+(2+42014+2016)=1008故选:B19数列an中,则数列an前16项和等于()A130B132C134D136【解答】解:an

18、+1+(1)n an=2n1,a2a1=1,a3+a2=3,a4a3=5,a5+a4=7,a6a5=9,a7+a6=11,a16a15=29从而可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a11=2,a12+a10=40,a13+a15=2,a16+a14=56,从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列an的前16项和为 42+84+=136故选:D20庄子天下篇中记述了一个著名命题:“一尺之锤,日取其半,万世不竭”反映这个命题本质的式子是()A1+=2B1+2C+=1D+1【解

19、答】解:根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项,以为公比的等比数列,+=11,故反映这个命题本质的式子是+1,故选:D21在数列an中,若=+,a1=8,则数列an的通项公式为()Aan=2(n+1)2Ban=4(n+1)Can=8n2Dan=4n(n+1)【解答】解:=+,a1=8,则数列为等差数列=+(n1)=(n+1)an=2(n+1)2故选:A22已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和为Sn,则S10=()A2101B291C45D55【解答】解:当0x1时,有1x10,则f(x)=f(x1)+1=2x1,当1x2时

20、,有0x11,则f(x)=f(x1)+1=2x2+1,当2x3时,有1x12,则f(x)=f(x1)+1=2x3+2,当3x4时,有2x13,则f(x)=f(x1)+1=2x4+3,以此类推,当nxn+1(其中nN)时,则f(x)=f(x1)+1=2xn1+n,所以,函数f(x)=2x的图象与直线y=x+1的交点为:(0,1)和(1,2),由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点然后:将函数f(x)=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位,即得到函数f(x)=2x1和y=x的图象,取x0的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0)即当x0时,方程f(x)x=0有且仅

21、有一个根x=0取中函数f(x)=2x1和y=x图象1x0的部分,再同时向上和向右各平移一个单位,即得f(x)=2x1和y=x在0x1上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1)即当0x1时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=1取中函数f(x)=2x1和y=x在0x1上的图象,继续按照上述步骤进行,即得到f(x)=2x2+1和y=x在1x2上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2)即当1x2时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=2以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3,(3,4,(n,n+1上的交点依次为(3,3),(4,4),(n+1,n+1)即方程f(x)x=0在(2,3,(3,

22、4,(n,n+1上的根依次为3,4,n+1综上所述方程f(x)x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为:0,1,2,3,4,其通项公式为:an=n1,前n项的和为 Sn=,S10=45,故选C23设等差数列an满足,公差d(1,0),当且仅当n=9时,数列an的前n项和Sn取得最大值,求该数列首项a1的取值范围()AB,C(,)D,【解答】解:等差数列an满足,(sina4cosa7sina7cosa4)(sina4cosa7+sina7cosa4)=sin(a5+a6)=sin(a4+a7)=sina4cosa7+sina7cosa4,sina4cosa7sina7cosa4=1,或sina

23、4cosa7+sina7cosa4=0即sin(a4a7)=1,或sin(a4+a7)=0(舍)当sin(a4a7)=1时,a4a7=3d(0,3),a4a7=2k+,kZ,3d=2k+,d=d=Sn=na1+=n2+(a1)n,且仅当n=9时,数列an的前n项和Sn取得最大值,8.59.5,a1故选:C二解答题(共4小题)24已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和【解答】解:(1)设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列,由b2=3,b3=9,可得q=3,bn=b2q

24、n2=33n2=3n1;即有a1=b1=1,a14=b4=27,则d=2,则an=a1+(n1)d=1+2(n1)=2n1;(2)cn=an+bn=2n1+3n1,则数列cn的前n项和为(1+3+(2n1)+(1+3+9+3n1)=n2n+=n2+25已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=1,b1=1,a2+b2=2(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,a1=1,b1=1,a2+b2=2,a3+b3=5,可得1+d+q=2,1+2d+q2=5,解得d=1,q=2或d

25、=3,q=0(舍去),则bn的通项公式为bn=2n1,nN*;(2)b1=1,T3=21,可得1+q+q2=21,解得q=4或5,当q=4时,b2=4,a2=24=2,d=2(1)=1,S3=123=6;当q=5时,b2=5,a2=2(5)=7,d=7(1)=8,S3=1+7+15=2126设数列an满足a1+3a2+(2n1)an=2n(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和【解答】解:(1)数列an满足a1+3a2+(2n1)an=2nn2时,a1+3a2+(2n3)an1=2(n1)(2n1)an=2an=当n=1时,a1=2,上式也成立an=(2)=数列的前n项和=+=1=27已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5()求an的通项公式;()求和:b1+b3+b5+b2n1【解答】解:()等差数列an,a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,所以an的通项公式:an=1+(n1)2=2n1()由()可得a5=a1+4d=9,等比数列bn满足b1=1,b2b4=9可得b3=3,或3(舍去)(等比数列奇数项符号相同)q2=3,b2n1是等比数列,公比为3,首项为1b1+b3+b5+b2n1=19

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