1、中考数学总复习第21讲矩形、菱形和正方形1.(2017临沂)在ABC中，点D是边BC上的点(与点B，C不重合)，过点D作DEAC，DFAB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是()A.若ADBC，则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C.若BDCD，则四边形AEDF是菱形D.若AD平分BAC，则四边形AEDF是菱形DD B 4.(2017兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ADB30，AB4，则OC()A.5 B.4 C.3.5 D.3B7.(2018张家界)在矩形ABCD中，点E在BC上，AEAD，DFAE，垂足为点F.(1)求证：D
2、FAB；(2)若FDC30，且AB4，求AD.(1)证明：在矩形ABCD中，ADBC，AEBDAF，又DFAE，DFA90，DFAB，又ADEA，ADFEAB，DFAB；(2)解：ADFFDC90，DAFADF90，FDCDAF30，AD2DF，DFAB4，AD2AB8.A 例2如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABCADC90，对角线AC，BD交于点O，DE平分ADC交BC于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB2，求OEC的面积【分析】(1)已知两直线平行和直角，则可通过证明三个角是直角解决问题；(2)过点O作OFBC于点F，求出EC，OF的长，进而利用三角形的面
3、积计算公式求解(1)证明：ADBC，ABCBAD180，ABC90，BAD90，BADABCADC90，四边形ABCD是矩形；【方法指导】与矩形性质有关的计算(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等，即被折叠的直角与折叠之后在任何位置依旧是直角；(2)矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，即常用到勾股定理、特殊角的三角函数值计算；(3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系运用全等三角形的判定或等腰三角形的性质进行求解C C 菱形判定定理用错对于“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一判定定理，注意其中两个条件：一是对角线互相垂直
4、；二是平行四边形(即对角线互相平分)，两条件缺一不可【方法指导】菱形的判定及相关计算1菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等来判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定对角线垂直即可运用对角线来判定2运用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长，有一个角为60的菱形，60角所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形也可以根据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，结合它的对称性得出一些结论3若菱形中所求线段为边长、高线、对角线长时，可考虑根据两种面积公式，利用等面积
5、法列方程求解C 例6(2019甘肃)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AGED交DE于点F，交CD于点G.(1)证明：ADGDCE；(2)连接BF，证明：ABFB.【分析】(1)依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到ADGC90，ADDC，DAGCDE，即可得出ADGDCE；(2)延长DE交AB的延长线于点H，根据DCEHBE，即可得出B是AH的中点，进而得到ABFB.判定一个四边形是菱形(矩形、正方形)时忽略前提条件要注意题中给出的前提条件是平行四边形还是任意四边形若题中给出的是任意四边形，则一般需要先证明该四边形是平行四边形，再根据菱形(矩形、正方形)的判定方
6、法证明2.(2018遵义)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AEBE)，且EOF90，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.(1)求证：OMON；(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长例7如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PEPB，连接PD，O为AC中点(1)如图，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，请说明理由；(2)如图，当点P在线段OC上时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，直接写出结论，若不成立，请说明理由；如图，试用等式来表示PB、BC、CE之间的数量
7、关系，并证明；(3)如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当BAD120时，连接DE，试探究线段PB与线段DE的数量关系，并说明理由解：(1)PDPE且PDPE.理由如下：正方形ABCD，AC是对角线，BCDC，BCPDCP45.又PCPC，BCPDCP.PBPD，PBCPDC.又PEPB，PDPE，PBCPEB.PEBPDC.PECPDC180.由四边形PECD内角和为360，DPEDCE180.DCE90，DPE90.PDPE且PDPE；(2)仍然成立，四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BADA，BAPDAP45，PAPA，BAPDAP(SAS)，PBPD，又PBPE，
8、PEPD.(i)当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.(ii)当点E在BC的延长线上时，如图ADPABP，ABPADP，CDPCBP，BPPE，CBPPEC，PECPDC，12，DPEDCE90，PEPD.PDPE，PDPE仍然成立；数量关系：BC2CE22PB2，证明：如图，连接DE，由可得PEPD，PEPD，DE2PD2PE22PE2，四边形ABCD是正方形，BCDC，BCDDCE90，在RtDCE中，DC2CE2DE2，BC2CE2DE22PE2，又PEPB，BC2CE22PB2；(3)数量关系：DEPB.理由如下：设PE与CD交于点H，四边形ABCD是菱形，且BAD120，ACBACD60，DCE180606060，点P在对角线AC上，由菱形关于对角线对称可得：PDPB，PDCPBC，PBPE，PDPE，PBCPEC，PECPDC，又PHDCHE，DPEDCE60，PED是等边三角形，DEPE，DEPB.(1)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC4，点P是AD上一点，过点P作PEAO，PFOD，垂足分别为点E、F，求PEPF的值；(2)如图，在RtABC中，角平分线BE，CD相交于点O，过点O分别作OMAC，ONAB，垂足分别为点M，N，若AB3，AC4，求四边形AMON的周长
