1、第18讲 等腰三角形与直角三角形1知识梳理 素养形成2真题自测 明确考向知识梳理 素养形成等腰三角形与直角三角形真题自测 明确考向命题点1 等腰三角形的判定与性质及相关计算(必考)1(2013益阳)如图1,在ABC中,A36,ABAC,ABC的平分线BE交AC于E.(1)求证：AEBC；体 验 益 阳 中 考 真 题(2)如图2,过点E作EFBC交AB于F,将AEF绕点A逆时针旋转角(0144)得到AEF,连接CE,BF,求证：CEBF；(3)在(2)的旋转过程中是否存在CEAB？若存在,求出相应的旋转角；若不存在,请说明理由(1)证明：ABAC,A36,ABCC72.又BE平分ABC,ABE
2、CBE36,BEC180CCBE72,ABEA,BECC,AEBE,BEBC,AEBC.(2)证明：ACAB且EFBC,AEAF.由旋转的性质可知：EACFAB,AEAF,CAE BAF,CEBF.(3)解：存在CEAB.由(1)可知AEBC,如图,在AEF绕点A逆时针旋转过程中,E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点当点E的对应点E与点M重合时,四边形ABCM为等腰梯形,BAMABC72.又BAC36,CAM36.当点E的对应点E与点N重合时,由ABl,得AMNBAM72.AMAN,ANMAMN72,MAN18027236,CANCAMMAN72.当旋转角为36或7
3、2时,CEAB.2(2020绵阳)在螳螂的示意图中,ABDE,ABC是等腰三角形,ABC124,CDE72,则ACD()A16 B28 C44 D45C延 伸 训 练3(2020常州)如图,在ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若AFC是等边三角形,则B_.4(2020眉山)如图,等腰ABC中,ABAC10,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E.若ABD的周长为26,则DE的长为_.305(2020哈尔滨)已知：在ABC中,ABAC,点D、点E在边BC上,BDCE,连接AD、AE.(1)如图1,求证：ADAE；(2)如图2,当DAEC45时,过点B作BFAC交AD的延
4、长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45.(1)证明：ABAC,BC.在ABD和ACE中,ABD ACE(SAS),ADAE.(2)解：ADAE,ADEAED.BFAC,FBDC45.ABCCDAE45,BDFADE,FBDF,BEABAE,CDACAD.满足条件的等腰三角形有：ABE,ACD,DAE,DBF.命题点2 直角三角形的性质及相关计算(必考)6(2017益阳)如图,ABC中,AC5,BC12,AB13,CD是AB边上的中线,则CD_.6.57(2016益阳)在ABC中,AB15,BC14,AC13,求ABC的面
5、积某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程8(2020自贡)如图,在RtABC中,ACB90,A50,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则ACD的度数是()A50 B40 C30 D20D延 伸 训 练9(2020赤峰)如图,RtABC中,ACB90,AB5,AC3,把RtABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到ABC,则四边形ABCA的面积是()A15 B18 C20 D22AA705或7焦点1 等腰三角形的性质及相关计算样题1已知在ABC中,ABAC.(1)若ABC的一边长为4,周长为16,则AB_；6重点难点 素养拓展(2)如
6、图1,若点D在BC的延长线上,ACD108,则BAC_；(3)如图2,若点D是BC边的中点,ABC的周长为20,AD6,则ABD的周长为_；(4)如图3,若A36,BD平分ABC交AC于点D,求证：ADBC.3616分析(1)当底边BC4时,ABAC6；当ABAC4时,底边BC8,此时不能构成三角形,故AB6.(2)ACD108,ACB72.又ABAC,ABCACB72,BAC180(ABCACB)36.(3)点D是BC边的中点,BDDC.又ABC的周长为20,ABACBC20,ABBD10.又AD6,ABBDAD16.即ABD的周长为16.(4)根据等腰三角形的性质得到ABCC72,根据角平
7、分线的定义得到ABDDBC36,BDC72,根据等腰三角形的判定即可得到结论解答解：(1)6(2)36(3)16(4)证明：ABAC,A36,ABCC72.BD平分ABC,ABDDBC36,BDC72.AABD,BDCC,ADBDBC.变 式 训 练BD3(2020绍兴)问题：如图,在ABD中,BABD.在BD的延长线上取点E,C,作AEC,使EAEC.若BAE90,B45,求DAC的度数答案：DAC45.思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉,其余条件不变,那么DAC的度数会改变吗？说明理由(2)如果把以上“问题”中的条件“B45”去掉,再将“BAE90”改为“BAEn”,其余
8、条件不变,求DAC的度数2解答解：(1)2C90,B30,CAB60.AD平分CAB,BADCAD30,BDAD2CD2.4如图,等腰直角ABC中,ACB90,ACBC4,M为AB中点,D是射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE,连接ED、ME,则点D在运动过程中ME的最小值为_.变 式 训 练25(2020铁岭)如图,在RtABC中,ACB90,B60,D为AB边的中点,连接DC,过D作DEDC交AC于点E.(1)求EDA的度数；(2)如图2,F为BC边上一点,连接DF,过D作DGDF交AC于点G,请判断线段CF与EG的数量关系,并说明理由解：(1)在RtAB
9、C中,ACB90,B60,A30.D为AB边的中点,CDBDAD,BCD是等边三角形,ACDA30.CDE90,CED60,EDA30.在直角三角形中求边长,首先考虑的是勾股定理求解当直角三角形中有30角时应联想到30角所对直角边等于斜边的一半；当出现斜边中点时要联想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,这些线段间的数量关系是直角三角形中求线段的关键另外对于解直角三角形中的线段或角度还可以用锐角三角函数求解方 法 指 导1(2020河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图
10、案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是()A1,4,5 B2,3,5 C3,4,5 D2,2,4提 升 数 学 核 心 素 养BC3(2020娄底)由4个直角边长分别为a,b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示,根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(ab)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2b2c2,还可以用来证明结论：若a0、b0且a2b2为定值,则当a_b时,ab取得最大值4(2020黄冈)我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有池方一丈,葭(ji)生其中央,出水一尺引葭赴岸,适与岸齐问水深几何？”(注：丈、尺是长度单位,1丈10尺)这段话翻译成现代汉语,即为：如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,则水池里水的深度是_尺12
