1、圆锥曲线的综合应用复习题含答案 一、选择题： 1.过抛物线 y24 3x 的焦点的直线 l 与双曲线 C：x 2 2y 21 的两个交点分别为(x 1，y1)，(x2，y2)，若 x1 x2 0，则 k 的取值范围是( ) A. 1 2， 1 2 B. ，1 2 1 2， C. 2 2 ， 2 2 D. ， 2 2 2 2 ， 2.椭圆 C：x 2 3 y2 m1 的焦点在 x 轴上，点 A，B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点 M 满足AMB100 ， 则实数 m 的取值范围是( ) A(3，) B1，3) C(0， 3) D(0，1 3.在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q 作抛物线
2、x24y 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 恒过的点的坐 标为( ) A(0，1) B(0，2) C(2，0) D(1，0) 二、填空题： 4.设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线与抛物线 y 2x 的一个交点的横坐标为 x 0，若 x01，则 双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是_ 5.已知抛物线 C：x28y 的焦点为 F，动点 Q 在 C 上，圆 Q 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 Q 切于点 P， 则FP FQ 的最小值为_ 6.已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足
3、分 别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_ 三、解答题： 7.已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，点 P 1， 3 2 在椭圆 E 上 (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q(xQ，yQ)(点 Q 异于点 P)，若 0xQ1，求直线 l 斜率 k 的取 值范围 8.已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中 点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(1，3)，若直线 AB
4、过焦点 F，求|DF|DE|的最小值； (2)是否存在实数 p，使|2QA QB |2QA QB |？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由 9已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，点 Q b，a b 在椭圆上，O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定 值，并求该定值 10.设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点
5、E. (1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求 四边形 MPNQ 面积的取值范围 11.如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1，y 1)，B(x2，y2)均在抛物线上 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率 12.已知 F1，F2为椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，点 P(1， 3 2)在
6、椭圆 E 上，且|PF1|PF2|2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)过 F1的直线 l1，l2分别交椭圆 E 于 A，C 和 B，D，且 l1l2，问是否存在常数 ，使得 1 |AC|， 1 |BD|成等 差数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 13.已知椭圆与抛物线 y24 2x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为 2 2 . (1)求椭圆的标准方程 (2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 AP 2 PB，求AOB 的面积 14.已知右焦点为 F2(c,0)的椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点 1，3 2 ，且椭圆 C
7、关于直线 xc 对称的图形过坐 标原点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 1 2，0 作直线 l 与椭圆 C 交于 E，F 两点，线段 EF 的中点为 M，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线 MA 的斜率 k 的取值范围 参考答案 一、选择题：1.D 2.D 3.B 二、填空题：4.(1,2) 5.3 6.3 三、解答题： 7.解：(1)由题意得 c a 3 2 ， 1 a2 3 4b21， a2b2c2， 解得 a2， b1， c 3， 故椭圆 E 的方程为x 2 4y 21.4 分 (2)设直线 l 的方程为 y 3 2 k(x1)，代入方程x 2 4y 21， 消去 y，得(14
8、k2)x2(4 3k8k2)x(4k24 3k1)0，6 分 所以 xQ 14k 24 3k1 14k2 .7 分 因为 0xQ1， 所以 04k 24 3k1 14k2 1， 即 4k 24 3k1 14k2 0， 4k24 3k1 14k2 1. 9 分 解得 3 6 k 32 2 或 k 32 2 ，经检验，满足题意11 分 所以直线 l 斜率 k 的取值范围是 3 6 k 32 2 或 k 32 2 .12 分 8.解：(1)因为直线 2xy20 与 y 轴的交点为(0，2)， 所以 F(0，2)，则抛物线 C 的方程为 x28y，准线 l：y2. 设过 D 作 DGl 于 G，则|D
9、F|DE|DG|DE|，来源: 当 E，D，G 三点共线时，|DF|DE|取最小值为 233.4 分 (2)假设存在实数 p，满足条件等式成立 联立 x22py 与 2xy20， 消去 y，得 x24px4p0.5 分 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24p，x1x24p，所以 Q(2p，2p)6 分 因为|2QA QB |2QA QB |，所以 QAQB，则QA QB 0.7 分 因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0. (x12p)(x22p)(2x122p) (2x222p)0， 5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，10 分 把 x1x24p
10、，x1x24p 代入得 4p23p10，解得 p1 4或 p1(舍去) 因此存在实数 p1 4，使得|2QA QB |2QA QB |成立12 分 9.解：(1)因为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ， 所以 e2c 2 a2 a2b2 a2 1 2，得 a 22b2， 又点 Q b，a b 在椭圆 C 上， 所以b 2 a2 a2 b41， 联立、得 a28，且 b22. 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41.4 分 (2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时， PN 的方程为 x 2或 x 2， 从而有|PN|2 3， S1 2|PN| |OM| 1 2 2
11、 3 2 22 6；5 分 当直线 PN 的斜率 k 存在时， 设直线 PN 的方程为 ykxm(m0)， P(x1，y1)，N(x2，y2)；来源: 将 PN 的方程代入 C 整理得(12k2)x24kmx2m280， 所以 x1x24km 12k2，x1 x2 2m28 12k2， y1y2k(x1x2)2m 2m 12k2.7 分 由OM OP ON ， 得 M 4km 12k2， 2m 12k2 . 将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得 m212k2. 又点 O 到直线 PN 的距离为 d |m| 1k2， |PN| 1k2|x1x2|，10 分 Sd |PN|m| |x1x2|12k2
12、 |x1x2|16k28m2322 6. 综上可知，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6.12 分 10.解：(1)因为|AD|AC|，EBAC， 所以EBDACDADC，所以|EB|ED|， 故|EA|EB|EA|ED|AD|. 又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而圆心 A(1，0)，|AD|2. 所以|EA|EB|2. 又因为 B(1，0)，所以|AB|2， 由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x 2 4 y2 31(y0)4 分 (2)解：当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 yk（x1）， x2
13、4 y2 31 得(4k23)x28k2x4k2100， 则 x1x2 8k2 4k23，x1x2 4k212 4k23 ，6 分 所以|MN|1k2|x1x2|12（k 21） 4k23 .7 分 过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线 m：y1 k(x1)，点 A 到直线 m 的距离为 2 k21， 所以|PQ|242 2 k21 2 4 4k23 k21 .10 分 故四边形 MPNQ 的面积 S1 2|MN| PQ|10 1 1 4k23. 可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(10，8 3)11 分 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，
14、|PQ|8， 故四边形 MPNQ 的面积为 10. 综上可知，四边形 MPNQ 面积的取值范围为10，8 3)12 分 11.解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0)因为点 P(1,2)在抛物线上，所以 222p 1， 解得 p2.故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1.4 分 (2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB， 则 kPAy12 x11(x11)，kPB y22 x21(x21)，6 分 因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPAkPB. 由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y214x1，
15、y224x2， 所以 y12 1 4y 2 11 y22 1 4y 2 21 ，所以 y12(y22) 所以 y1y22.10 分 由得，y21y224(x1x2)， 所以 kABy1y2 x1x2 4 y1y21(x1x2)12 分 12.解析：(1)|PF1|PF2|4， 2a4，a2. 椭圆 E：x 2 4 y2 b21. 将 P(1，3 2)代入可得 b 23， 椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 31.4 分 (2)当 AC 的斜率为零或斜率不存在时， 1 |AC| 1 |BD| 1 3 1 4 7 12；5 分 当 AC 的斜率 k 存在且 k0 时，AC 的方程为 yk(x1)，
16、 代入椭圆方程x 2 4 y2 31，并化简得(34k 2)x28k2x4k2100. 设 A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则 x1x2 8k2 34k2，x1 x2 4k212 34k2 .7 分 |AC| 1k2|x1x2| k2x1x2 24x 1x21 k2 34k2 . 直线 BD 的斜率为1 k， |BD| 1211 k 2 31 k 2 k2 3k24 .9 分 1 |AC| 1 |BD| 34k2 k2 3k24 k2 7 12. 综上，2 1 |AC| 1 |BD| 7 12，11 分 7 24. 故存在常数 7 24，使得 1 |AC|， 1 |BD|成等差数列12
17、分 13.解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，由题意可得 c 2， 又 ec a 2 2 ，a2. b2a2c22， 椭圆的标准方程为x 2 4 y2 21.4 分 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故 AP (x 1，1y1)， PB (x 2，y21) 由 AP 2 PB，得 x12x2， 1y1y2 5 分 设直线 AB 的方程为 ykx1， 代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20， x1x2 4k 2k21，x1x2 2 2k21.7 分 将 x12x2代入上式可得，x2 4k 2k21，x1 8k 2k21. x1x2 32
18、k2 k2 2 2 2k21，解得 k 21 14.9 分 AOB 的面积 S1 2|OP| |x1x2| x1x2 24x 1x2 2 1 2 2 8k22 2k21 3 14 8 .12 分 14.解：(1)椭圆 C 过点 1，3 2 ， 1 a2 9 4b21， 椭圆 C 关于直线 xc 对称的图形过坐标原点，a2c， a2b2c2，b23 4a 2， 由得 a24，b23， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31.4 分 (2)依题意，直线 l 过点 1 2，0 且斜率不为零，故可设其方程为 xmy 1 2. 由 xmy1 2， x2 4 y2 31 消去 x，并整理得 4(3m24)y210my450.6 分 设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)， y1y2 3m 3m24，y0 y1y2 2 3m m2 ， x0my01 2 2 3m24，k y0 x02 m 4m24.9 分 当 m0 时，k0； 当 m0 时，k m 4m24 1 4m4 m ， 4m4 m 4|m| 4 |m|8， 0 1 4m4 m 1 8，0|k| 1 8， 1 8k 1 8且 k0.11 分 综上可知，直线 MA 的斜率 k 的取值范围是 1 8， 1 8 .12 分
